Groupe de Coxeter

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Un groupe de Coxeter est un groupe généré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d'isométries de polyèdres réguliers, sont des groupes de Coxeter. Les groupes de Weyl sont d'autres exemples de groupes de Coxeter.

Ces groupes sont nommés d'après le mathématicien H.S.M. Coxeter.

Définition formelle

Un groupe de Coxeter est un groupe W ayant une présentation du type:

$\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}\right\rangle$

où $m_{ij}$ est à valeurs dans $\N\cup\{\infty\}$ est symétrique ($m_{ij}=m_{ji}$) et vérifie $m_{ii}=1$, $m_{ij}\geq2$ si $i\neq j$. La condition $(r_ir_j)^\infty$ signifie par convention qu'aucune relation n'est imposée entre $r_i$ et $r_j$. Remarquons que $m_{ij}=2$ ne signifie rien d'autre que le fait que $r_i$ et $r_j$ commutent. La condition $m_{ii}=1$ signifie que les générateurs sont d'ordre deux : on y pense comme à des réflexions. Soit S l'ensemble des générateurs. Lorsqu'on veut indiquer cet ensemble, on dit que (W,S) est un système de Coxeter.

Propriétés de base

Comme annoncé dans l'introduction, un groupe de Coxeter peut être vu comme un groupe de réflexions orthogonales en un certain sens. Précisément, si W est un groupe de Coxeter alors il existe un espace vectoriel réel V muni d'une forme bilinéaire non dégénérée q telle que W s'injecte dans le groupe O(q) des automorphismes de V qui préservent q. Comme ils sont d'ordre 2, les générateurs $r_{i}$ donnés par la présentation sont alors envoyés sur des réflexion orthogonales. Attention q n'est pas forcement définie positive, V n'est alors pas un espace euclidien.

La présentation d'un groupe de Coxeter permet de définir la longueur de ses éléments : si w est dans W, on appelle longueur de w et on note l(w) le nombre minimal de générateurs à multiplier pour obtenir w. Les propriétés suivantes de la longueur sont simples : soit (W,S) un système de Coxeter, alors

$l(ws)=l(w)-1$ ou $l(ws)=l(w)+1$ pour s dans S

$l( w^{-1})=l(w)$

Exemple

Le groupe symétrique $\mathfrak S_n$ est un groupe de Coxeter. On peut le voir comme le groupe des isométries d'un simplexe à n dimensions, ou bien utiliser la présentation suivante : $\mathfrak S_n$ est généré par les transpositions de la forme (1,2),(2,3),...,(n-1,n). Les relations sont :

- deux transpositions commutent si elles ne sont pas consécutives,

- $(k,k+1)(k+1,k+2)$ est d'ordre 3.

Les groupes diédraux $D_n$ sont un autre type d'exemples. Le groupe $D_n$ est le groupe des transformations qui préservent un polygone régulier à $n$ côtés.

Caractérisation

Un des faits les plus remarquables concernant les groupes de Coxeter est qu'on dispose d'un critère simple, appelé la condition d'échange, pour les identifier et trouver leurs présentations. (Rappelons qu'en général, trouver une présentation d'un groupe est une opération très difficile).

Les groupes de Coxeter finis sont complètement classifiés, par le biais des diagrammes de Coxeter.