Anneau noethérien

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Emmy Noether formalise les propriétés d'une famille particulière d'anneaux maintenant appelés anneaux noethériens.

En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité.

De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le théorème fondamental de l'arithmétique ne possède plus d'équivalent.

L'approche consistant à étudier une question uniquement sous l'angle des propriétés spécifiques d'une structure d'anneau particulière s'est révélée fructueuse. Richard Dedekind l'a utilisée avec succès en arithmétique et David Hilbert en géométrie algébrique. Emmy Noether choisit un nombre plus limité de propriétés vérifiées par certains anneaux et démontre de nombreux résultats sur ceux-ci.

Le terme d'anneau noethérien apparait en 1954 sous la plume de mathématiciens japonais[1].

Approche intuitive[modifier | modifier le code]

Dans certains cas simples, tous les idéaux d'un anneau A sont principaux. Si A est considéré comme un module sur lui-même, ses idéaux sont alors des sous-modules engendrés par un élément. Cette situation n'est cependant pas générale.

En arithmétique, il est fréquent d'utiliser des anneaux d'entiers algébriques par exemple les entiers quadratiques de la forme a + b.i√5 où a et b sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire complexe. Il existe en effet dans cet anneau un idéal, formé des éléments de la forme 2.a + b(1 + i√5), où a et b sont des entiers relatifs, qui n'est pas principal, c'est-à-dire n'est pas engendré par un unique élément. En revanche, il est engendré par un nombre fini d'éléments, ici deux. Dans l'anneau considéré, c'est-à-dire Z[i.√5] (la lettre Z désigne dans tout l'article l'anneau des entiers relatifs) tous les idéaux sont engendrés par un ou deux éléments. Cette configuration est la même pour tout anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps des nombres rationnels.

Cette configuration se retrouve en théorie des groupes. Si G est un groupe abélien de type fini (c'est-à-dire admettant une famille génératrice finie) muni de sa structure canonique de Z-module, tout sous-groupe de G, qui est aussi un sous-module, admet une famille génératrice finie. La propriété est la même, même si elle s'applique à un module et non plus à un anneau.

Cette propriété, indiquant que tout idéal d'un anneau A admet une famille génératrice finie si l'idéal est considéré comme un sous A-module, est fréquente en mathématiques. Elle correspond à la notion formalisée par la définition d'anneau noethérien. La notion de module noethérien est un substitut de l'hypothèse de la dimension finie en algèbre linéaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Anneau et module[modifier | modifier le code]

Article détaillé : module sur un anneau.

De même qu'un corps commutatif est un espace vectoriel sur lui-même, il est possible de considérer un anneau A comme un A-module. Si l'anneau n'est pas commutatif, il existe deux produits externes différents : soit λ un élément de A vu comme un scalaire et a un élément de A vu comme un vecteur, les deux produits externes associent respectivement à (λ, a) le vecteur λ.a et a.λ. L'anneau A possède ainsi deux structures de A-module, une à gauche et une à droite, qui coïncident si A est commutatif.

Une deuxième différence réside dans les sous-espaces vectoriels. Un corps n'en contient que deux, l'espace réduit à 0 et le corps lui-même. Pour un anneau A, considéré comme A-module à gauche (resp. à droite), la notion de sous-module coïncide avec celle d'idéal à gauche (resp. à droite).

Un anneau A étant toujours supposé unitaire dans cet article, le A-module A possède une famille génératrice constituée d'un seul élément : l'unité (ou un élément inversible quelconque). Dire qu'un anneau commutatif est principal revient à dire, avec ce formalisme, que tous ses sous-modules admettent, eux aussi, une famille génératrice composée d'un seul élément. Ce n'est pas toujours le cas. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, l'ensemble des polynômes à coefficient constant pair est un idéal, mais il faut au moins deux éléments comme 2 et X pour engendrer ce sous-module. Il n'est donc pas principal mais seulement de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments).

Le concept noethérien se définit plus simplement sur un module, la définition d'anneau noethérien devient alors un cas particulier, celui où l'anneau est considéré comme un module sur lui-même (à gauche ou à droite).

Définitions[modifier | modifier le code]

La définition pour les modules est la suivante :

Soit A un anneau. Un A-module M est dit noethérien si et seulement s'il vérifie l'une des trois propriétés suivantes, qui sont équivalentes :

  1. tout sous-module de M est de type fini ;
  2. toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire ;
  3. tout ensemble non vide de sous-modules de M admet un élément maximal pour l'inclusion.

Les propriétés 2 et 3 constituent la condition de chaîne ascendante sur les sous-modules de M.

On en déduit ainsi la définition pour les anneaux :

  • Un anneau est dit noethérien à gauche si tous ses idéaux à gauche sont de type fini ;
  • un anneau est dit noethérien à droite si tous les idéaux à droite sont de type fini ;
  • un anneau est dit noethérien s'il est noethérien à droite et à gauche.

Dans le cas des anneaux commutatifs, ces trois définitions coïncident[2]. D'autre part, les deux définitions alternatives et équivalentes de la notion de module noethérien se traduisent immédiatement pour les anneaux.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout sous-module et tout module quotient d'un module noethérien sont noethériens, et l'équivalence suivante donne une réciproque :

  • Soit P un sous-module de M, le module M est noethérien si et seulement si P et M / P le sont.

On en déduit aussitôt :

  • tout anneau quotient (par un idéal bilatère) d'un anneau noethérien à gauche est noethérien à gauche et
  • si A est un anneau noethérien, les A-modules noethériens sont exactement les A-modules de type fini.

La décomposition des idéaux est plus délicate. Dans l'anneau commutatif principal Z par exemple, l'idéal 12Z est égal à la fois au produit des idéaux 2Z, 2Z et 3Z, et à l'intersection des idéaux 22Z et 3Z (qui est aussi leur produit). Dans un anneau commutatif seulement noethérien, trois propriétés s'en rapprochent (la première est utilisée dans l'article Anneau de valuation discrète, la quatrième est le théorème de Lasker-Noether) :

Soit A un anneau commutatif noethérien.

  1. Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers, ou plus précisément, tout idéal I de A contient un produit d'idéaux premiers qui contiennent I[3].
  2. Pour tout idéal de A, il existe un nombre fini d'idéaux premiers minimaux contenant cet idéal.
  3. Tout idéal radiciel de A est intersection finie d'idéaux premiers.
  4. Tout idéal de A est décomposable, c'est-à-dire intersection finie d'idéaux primaires.
  5. Si A est intègre, tout élément non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'éléments irréductibles[4].

Tout endomorphisme surjectif d'un module noethérien est un automorphisme[5].

Exemples[modifier | modifier le code]

Premiers cas[modifier | modifier le code]

Tout corps commutatif est manifestement noethérien, par absence d'idéaux non triviaux. Tout anneau principal est aussi noethérien car chaque idéal est engendré par un unique élément, ainsi Z, K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps est noethérien. En revanche, lorsque c'est possible, il est plus simple de les étudier à l'aide d'une division euclidienne ou, ce qui est toujours possible, d'utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique dans le cadre d'un anneau factoriel.

Tout anneau fini est noethérien, on trouve leur présence, par exemple dans le cadre de la géométrie algébrique ou de la théorie algébrique des nombres.

Polynômes et séries formelles[modifier | modifier le code]

Un anneau de polynômes n'est pas toujours principal, Z[X] est un exemple déjà cité. Un anneau de polynôme en plusieurs indéterminées Q[X, Y] n'est pas non plus principal, l'idéal des polynômes de degré supérieurs ou égal à 1 nécessite deux générateurs, les indéterminées X et Y.

Le théorème suivant, découvert par David Hilbert en 1888[6] est parfois nommé théorème de la base de Hilbert :

  • Soit A un anneau commutatif noethérien, l'anneau de polynômes A[X] est noethérien.

Il se généralise aisément (par récurrence) au cas de plusieurs indéterminées :

  • Soient A un anneau commutatif noethérien et n un entier naturel, l'anneau de polynômes A[X1…, Xn] est noethérien.

En revanche, un anneau de polynômes sur un nombre infini d'indéterminées n'est jamais noethérien (quel que soit l'anneau de coefficients) : la suite d'idéaux dont le nième est engendré par (X1…, Xn) est croissante mais non stationnaire.

Comme exemple d'utilisation, on peut imaginer en géométrie une surface algébrique S définie comme l'ensemble des racines d'une famille infinie de polynômes à plusieurs indéterminées et sur un anneau noethérien. Le théorème de la base de Hilbert indique qu'il suffit de considérer une famille finie de polynômes pour définir S. En effet, l'ensemble des polynômes s'annulant sur S forme un idéal.

Par un argument similaire (portant sur les coefficients non nuls de plus bas degré au lieu des coefficients dominants), on démontre le théorème suivant (qui se généralise de même à plusieurs indéterminées)[8] :

  • Soit A un anneau commutatif noethérien, l'anneau de séries formelles A[[X]] est noethérien.

Anneau d'entiers[modifier | modifier le code]

Plusieurs exemples d'anneaux noethériens proviennent de l'arithmétique via l'étude d'équations diophantiennes, même si leur utilisation dépasse maintenant largement ce cadre. Un exemple simple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat, qui fait intervenir l'anneau des entiers de Gauss. C'est un cas particulier d'anneau d'entiers quadratiques. Ce sont tous des anneaux de Dedekind, en particulier ils sont noethériens. Plus généralement[9] :

Soient

A un anneau commutatif intègre,
K son corps des fractions,
L une extension finie séparable de K, et
B l'anneau des éléments de L entiers sur A.
Si A est noethérien et intégralement clos alors B est un A-module de type fini.

(L'article Élément entier montre que B est un anneau. Clairement, il contient A et il est commutatif unitaire et intègre.) Remarquons que d'après cet énoncé, B est noethérien en tant que A-module, mais aussi en tant qu'anneau, puisque c'est un quotient d'un anneau de polynômes en un nombre fini d'indéterminées à coefficients dans A.

Ce résultat est lourd de conséquences, par exemple en théorie algébrique des nombres. La démonstration proposée ici utilise un outil appelé forme trace, utilisé aussi pour définir le discriminant d'un anneau d'entiers algébriques. Une démonstration plus simple est proposée dans le cas particulier des entiers quadratiques dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.

Dans le même registre, on a aussi :

Théorème de Krull-Akizuki (en)[10] — Soient A un anneau commutatif intègre noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal, K son corps des fractions, L une extension finie de K, et B un sous-anneau de L contenant A. Alors B est noethérien, et tout idéal premier non nul de B est maximal. En outre, pour tout idéal non nul J de B, le A-module B/J est de type fini.

Classe des anneaux noethériens[modifier | modifier le code]

La plupart des opérations algébriques conservent la noethérianité. Rappelons et complétons les exemples ci-dessus :

  • les corps et les anneaux principaux sont noethériens ;
  • tout quotient et produit direct fini d'anneaux noethériens est noethérien ;
  • tout anneau de polynômes à un nombre fini d'indéterminées sur un anneau noethérien est noethérien. Ainsi toute algèbre de type fini sur un anneau noethérien est noethérienne ;
  • tout localisé d'un anneau noethérien est noethérien ; plus généralement, si M est un A-module noethérien, tout localisé S-1M est un S-1A-module noethérien. (En effet, pour tout sous-module N de S-1M, on a N = (S-1A)(NM) ; on en déduit que toute suite croissante (Nn) de sous-modules de S-1M est stationnaire, puisque la suite (NnM) l'est.)
  • le complété formel (en) d'un anneau commutatif noethérien pour la topologique I-adique (I un idéal de A) est noethérien ;
  • si un anneau noethérien est fini sur un sous-anneau (c'est-à-dire qu'il est de type fini comme module sur le sous-anneau), alors ce dernier est noethérien (Théorème d'Eakin) ;
  • tout anneau est réunion croissante de sous-anneaux noethériens.

Par contre, en général,

  • un sous-anneau d'un anneau noethérien n'est pas noethérien (par exemple l'anneau de polynômes à une infinité d'indéterminées à coefficients dans un corps n'est pas noethérien, mais c'est un sous-anneau de son corps des fractions qui est noethérien) ;
  • un produit tensoriel d'anneaux noethériens n'est pas noethérien (prendre L le corps des fractions rationnelles à une infinité d'indéterminées à coefficients dans un corps K et considérer le produit tensoriel L\otimes_K L. Ce dernier n'est pas noethérien, alors que K et L le sont).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Michio Yoshida et Motoyoshi Sakuma, On integrally closed noetherian rings, J. of Sc. of Hiroshima Univ Séries A tome 17, 1954, p. 311-315
  2. Il suffit même que tous les idéaux premiers de l'anneau soient de type fini : cf. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre commutative (lire en ligne), chapitre II, § 1, exercice 6.
  3. Dans ces deux énoncés on autorise bien sûr les répétitions d'un même idéal premier dans le produit (contre-exemple sinon, pour le second : l'idéal des multiples de 4, dans l'anneau des entiers).
  4. Cette factorisation n'est en général pas unique même à multiplication près par des inversibles. Ainsi l'anneau noethérien A est factoriel si et seulement si ses éléments irréductibles sont premiers.
  5. (en) Alberto Facchini, Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 167),‎ 1998 (ISBN 978-3-76435908-9, lire en ligne), p. 46
  6. La preuve de Hilbert provoqua une vaste polémique à son époque. La preuve n'est en effet pas constructive, elle démontre l'existence d'une base sans indiquer comment l'obtenir. Gordan, spécialiste de la question, s'exclama : Ce n'est pas des mathématiques, c'est de la théologie, il finit quelques années plus tard par admettre cette preuve et indiqua : J'ai acquis la conviction que la théologie a aussi ses avantages (J. Boniface, Hilbert et la notion d'existence en mathématiques, Librairie Philosophique Vrin, 2004, chap. 2 p. 53 et chap. 1 p. 15 (ISBN 2711616061)).
  7. (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 1965, p. 145.
  8. Lang 1965, p. 146-147.
  9. Pour des résultats plus généraux, cf. Bourbaki AC IX § 4.
  10. Bourbaki AC VII, § 2, n° 5.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]