Élément entier

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs), et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss.

Définition[modifier | modifier le code]

On fixe un anneau commutatif A. Soit B une A-algèbre commutative (c'est-à-dire un anneau commutatif unitaire muni d'un morphisme d'anneaux \phi : A\to B). Un élément b de B est un élément entier sur A s'il existe un polynôme unitaire à coefficients dans A s'annulant sur b.

Exemples

  • Lorsque A, B sont des corps (commutatifs), les éléments entiers sont exactement les éléments algébriques.
  • Dans le cas du corps \mathbb{C} vu comme une algèbre sur l'anneau \mathbb{Z} des entiers relatifs, les éléments entiers sont les entiers algébriques. Par exemple tout entier de Gauss \alpha=a+ib\in\mathbb{C} avec a, b\in \mathbb{Z} et i une racine carré de -1, est entier sur \mathbb{Z}. Concrètement, \alpha est annulé par le polynôme unitaire à coefficients entiers
T^2-2aT+(a^2+b^2).
  • La variable T de l'anneau des polynômes {\mathbb Z}[T] n'est pas un élément entier sur \mathbb Z.
  • Une fraction rationnelle est entière sur {\mathbb Z} si et seulement si c'est un entier rationnel.
  • Soit A=k[T] l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps k, soit B=A[S]/(S^2-T^3-1)A[S]. Alors la classe s de S dans B est entière sur A, c'est un zéro du polynôme X^2-T^3-1\in A[X].

On dit que B est entier sur A, ou que c'est une A-algèbre entière si tout élément de B est entier sur A. On dira aussi que \phi: A\to B est un morphisme entier ou que A\to B est une extension entière.

Contrairement au cas des extensions de corps, un morphisme d'anneaux \phi : A\to B n'est pas nécessairement injectif. Mais dire que b est entier sur A revient à dire que b est entier sur le sous-anneau \phi(A)\, de B. On peut donc toujours se restreindre aux morphismes injectifs. Mais il est plus commode de garder la définition du cas général (on peut ainsi dire qu'un morphisme surjectif est entier).

Propriétés[modifier | modifier le code]

On dit qu'un morphisme de A dans B est un morphisme fini s'il fait de B un A-module de type fini, autrement dit, s'il existe b_1,\ldots, b_n\in B tels que B=b_1A+\ldots +b_nA. On dit aussi que B est fini sur A.

Théorème — Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. b est entier sur A,
  2. A[b] est fini sur A (en tant que A-module),
  3. il existe une sous-algèbre (unitaire) de B contenant b et finie sur A (en tant que A-module),
  4. il existe un A[b]-module fidèle et de type fini en tant que A-module[1].

Corollaire 1 — L'ensemble des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B contenant l'image de \phi: A\to B.

Corollaire 2 —  Si B est entier sur A (c'est-à-dire si tous ses éléments sont entiers sur A), et si c est un élément entier sur B d'une B-algèbre, alors c est entier sur A. Ainsi un anneau entier sur un anneau entier sur A est entier sur A.

  • Si B est entier sur A, alors pour toute A-algèbre C, le produit tensoriel B\otimes_A C est entier sur C.
  • Si de plus C est entier sur A, alors B\otimes_A C est entier sur A.

Fermeture et clôture intégrales[modifier | modifier le code]

D'après le corollaire 1 ci-dessus, l'ensemble des éléments de B entiers sur A est une sous-A-algèbre de B (c'est-à-dire un sous-anneau de B stable par la multiplication par A). Cet ensemble est appelé la fermeture intégrale de A dans B.

Si A est intègre, sa fermeture intégrale dans son corps des fractions est appelée la clôture intégrale de A. En géométrie algébrique, cela correspond à la normalisation du schéma défini par A. Si A est égal à sa clôture intégrale, on dit que A est intégralement clos ou normal.

Exemples

  • L'anneau ℤ des entiers est intégralement clos, l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss aussi. En fait tout anneau principal est intégralement clos.
  • Plus généralement (cf. Lemme de Gauss) un anneau intègre à PGCD — en particulier un anneau factoriel — est intégralement clos (par exemple un anneau régulier, comme l'anneau de polynômes R[X1, … , Xn] à coefficients dans un corps ou anneau principal R).
  • La clôture intégrale de ℤ[5] est ℤ[(1 + 5)/2], donc ℤ[5] est un exemple d'anneau non intégralement clos. Il en est de même de l'anneau C(t2,t3), dont le corps des fractions est C(t), et pour lequel t est intégral puisque solution de X2-t2=0.
  • Un anneau de valuation est intégralement clos ; une intersection d'anneaux de valuation aussi[4].

En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions[5].

  • Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition ! ).
  • Soit A un anneau intègre. La fermeture intégrale de A dans une extension de son corps des fractions est toujours intégralement close. Cela résulte du corollaire 2 ci-dessus. En particulier, la clôture intégrale de A est intégralement close.
  • « Le passage aux anneaux de fractions commute à la fermeture intégrale : soit A un sous-anneau d'un corps K, et soit S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. Pour qu'un élément de K soit entier sur S-1A, il faut et il suffit qu'il soit de la forme a' / sa' est entier sur A, et où s appartient à S »[6]. En particulier :
    • si A est intégralement clos alors S-1A aussi ;
    • dans K, la fermeture algébrique du corps des fractions de A est égale au corps des fractions de la fermeture intégrale de A.

En théorie algébrique des nombres, on a par exemple fréquemment besoin de l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres K, où S est un ensemble fini de nombres premiers. Il s'agit des éléments de K annulés par un polynôme unitaire à coefficients dans S–1ℤ, anneau des nombres rationnels dont le dénominateur n'est divisible que par les premiers de S (par exemple si S = {2, 3}, alors S–1ℤ est l'ensemble des fractions de la forme c/2a3b).

Lien avec les extensions algébriques[modifier | modifier le code]

  • Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, L une extension finie de K, et B la fermeture intégrale de A dans L. L'une des deux conditions suivantes suffit pour que B soit fini sur A :
    • l'extension est séparable, ou
    • A est une algèbre intègre de type fini sur un corps ou un anneau de Dedekind de caractéristique nulle.
(Il existe des contre-exemples dans le cas général).

Applications à la géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Soit \phi: A\to B un morphisme entier.

  • Le morphisme de schémas f: {\rm Spec} B\to {\rm Spec} A associé à \phi\, est fermé (c'est-à-dire qu'il envoie une partie fermée sur une partie fermée).
  • Si de plus \phi\, est injectif, alors f est surjectif. Autrement dit, pour tout idéal premier \mathfrak p de A, il existe un idéal premier \mathfrak q de B tel que \mathfrak p=\phi^{-1}(\mathfrak q). De plus, \mathfrak p est maximal si et seulement si \mathfrak q est maximal. Enfin, on a l'égalité des dimensions \dim A=\dim B.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette dernière caractérisation est moins souvent utilisée, mais sert par exemple dans l'étude des anneaux de valuation discrète
  2. Cet argument figure dans Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition], dans Bourbaki AC V.1.1, dans Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] et dans (en) Samuel et Zariski, Commutative algebra, vol. 1. C'est une variante de l'argument utilisé pour démontrer le lemme de Nakayama. Alternativement, on peut invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme de D : « produit par b ».
  3. Une preuve plus explicite utilisant les résultants est présentée par Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], ch. 10, § 4.2.2 dans le cas A = ℤ mais s'étend par généricité à tout anneau[réf. souhaitée].
  4. [PDF] Notions élémentaires de géométrie algébrique, cours d'André Néron, 1964-65, Publications mathématiques d'Orsay
  5. Bourbaki AC VI § 1 n° 3
  6. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p. 22

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative