Équation cubique

Graphe d'une fonction polynomiale de degré 3 avec pour coefficients :
y = x³/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2

En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme ax³ + bx² + cx + d = 0 où a, b, c et d sont des coefficients réels ou complexes, avec a non nul.

Historique

Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens. On a trouvé des inscriptions cunéiformes babyloniennes (XX^e au XVI^e siècle av. J.-C.) avec des tables de calcul des cubes et des racines cubiques. Les Babyloniens auraient pu utiliser les tables pour résoudre des équations cubiques, mais aucune preuve existe pour confirmer qu'ils ont fait. Le problème du doublement du cube implique l'équation cubique la plus simple et la plus ancienne étudiée, pour laquelle les anciens Égyptiens ne croyaient qu'une solution n'existait. Au V^e siècle av. J.-C., Hippocrate a réduit ce problème à celui de trouver deux moyennes proportionnelles entre une ligne et un autre de deux fois sa longueur, mais ne pouvait pas résoudre ce problème à l'aide d'une construction à la règle et au compas, une tâche qui est maintenant connu comme impossible. Des méthodes de résolution d'équations cubiques apparaissent dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, un texte mathématique chinois écrit autour du II^e siècle av. J.-C. et commenté par Liu Hui au III^e siècle. Au III^e siècle, mathématicien grec ancien Diophante trouve des solutions réelles ou rationnelles pour certaines équations cubiques bivariées (équations diophantiennes). On suppose que Hippocrate, Ménechme et Archimède sont arrivés près de résoudre le problème de doublage le cube à l'aide d'intersection des sections coniques, si les historiens tels que Reviel Netz contestent le fait que les Grecs pensent à des équations cubiques ou seulement des problèmes qui pouvaient conduire à des équations cubiques. Quelques autres comme T. L. Heath, qui a traduit les œuvres d'Archimède, en désaccord, mettant en avant la preuve qu'Archimède résolvant les équations cubiques en utilisant intersection de deux coniques, mais également discuté des conditions où les racines sont égal à 0, 1 ou 2.

Au VII^e siècle, l'astronome et mathématicien Wang Xiaotong, dans son traité mathématique intitulé Jigu Suanjing, a établi et résolu numériquement 25 équations cubiques de la forme x³ + px² + qx = N, 23 de celles-ci avec p, q ≠ 0, et 2 avec q = 0.

Au XI^e siècle, le poète-mathématicien persan Omar Khayyam (1048-1131) a fait des progrès significatifs dans la théorie des équations cubiques. Il a découvert qu'une équation cubique peut avoir plus d'une solution et a déclaré qu'elle ne peut pas être résolu en utilisant la construction à la règle et au compas. Il a également trouvé une solution géométrique (voir ci-dessous). Plus tard, dans son Traité sur la démonstration des problèmes d'algèbre, il a écrit une classification complète des équations cubiques avec des solutions géométriques générales trouvées par le biais de l'intersection des sections coniques.

Au XII^e siècle, le mathématicien indien Bhaskara II a essayé de résoudre des équations cubiques, sans succès. Cependant, il a donné un exemple d'une équation cubique : x³ + 12x = 6x² + 35. Au XII^e siècle, un autre mathématicien persan, Sharaf al-Dîn al-Tusi (1135 à 1213), écrit le Al-Mu'ādalāt (Traité sur les équations), qui portait sur huit types d'équations cubiques avec des solutions positives, et cinq types d'équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives. Il a utilisé ce qui sera connu plus tard comme la « méthode de Ruffini-Horner » pour approcher numériquement la racine d'une équation cubique. Il a également développé les concepts de fonction dérivée et les extremum des courbes afin de résoudre des équations cubiques, qui peuvent ne pas avoir des solutions positives. Il comprit l'importance du discriminant de l'équation cubique pour trouver des solutions algébriques à certains types d'équations cubiques.

Leonardo de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (1170-1250), a été en mesure de suivre de près la solution positive à l'équation cubique x³ + 2x² + 10x = 20, en utilisant les chiffres babyloniens. Il a donné le résultat 1,22,7,42,33,4,40 (équivalent à 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), qui diffère de la valeur correcte de seulement environ 3/1000000000000.

Au début du XVI^e siècle, le mathématicien italien Scipione del Ferro a trouvé une méthode pour résoudre une classe d'équations cubiques, à savoir celles de la forme x³ + mx = n. En fait, toutes les équations cubiques peuvent être réduits à cette forme si nous permettons que m et n peut être négatif, mais les nombres négatifs ne sont pas connus à ce moment-là. Del Ferro a gardé son secret de réussite jusqu'avant sa mort, quand il dit à son élève Antonio Fiore la méthode.

En 1530, Tartaglia a reçu deux problèmes d'équations cubiques de Zuanne da Coi et a annoncé qu'il pourrait les résoudre. Il fut aussitôt contesté par Fiore, ce qui les a conduits à un célèbre concours. Chaque participant a dû mettre en place une certaine somme d'argent et de proposer un certain nombre de problèmes pour son rival à résoudre. Celui qui a résolu plus de problèmes dans les 30 jours obtiendraient tout l'argent. Tartaglia a reçu des questions sous la forme x³ + mx = n, pour lequel il avait élaboré une méthode générale. Fiore a reçu des questions de la forme x³ + mx² = n, qui se sont avérés être trop difficiles pour lui à résoudre, et Tartaglia a remporté le concours.

François Viète (1540-1603) a dérivé la solution trigonométrique pour des équations cubiques avec trois racines réelles, et René Descartes (1596-1650) a étendu le travail de Viète.

Antiquité

Les équations cubiques se posaient chez les Grecs vers 300 av. J.-C. Ils les auraient résolues géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). Le plus ancien des problèmes du 3^e degré remonterait à Ménechme (vers 380 à 320 av. J.-C.) qui, pour obtenir x tel que x³ = a²b, se ramène à l'intersection de x² = ay (parabole) et de xy = ab (hyperbole).

Archimède (Syracuse, 287 à 212 av. J.-C.) avait cherché à couper une sphère de rayon r par un plan de façon que le rapport des volumes des deux parties ait une valeur donnée k. Cela donne une équation du 3^e degré. Si h est la hauteur d'une des parties, h vérifie : h³ + (4kr³)/(k + 1) = 3rh².

Mathématiciens persans

Puis c’est Omar Khayyam (1048-1131), originaire de Perse, qui, dans son traité d'algèbre, Démonstrations de problèmes d'algèbre (vers 1070), étudie les équations cubiques. À l’instar des Grecs, il utilise la géométrie. Il démontre que les équations cubiques peuvent avoir plus d’une racine.

Il fait état aussi d’équations ayant deux solutions, mais n'en trouve pas à trois solutions. C'est le premier mathématicien qui ait traité systématiquement des équations cubiques, en employant d'ailleurs des tracés de coniques pour déterminer le nombre des racines réelles et les évaluer approximativement. Par exemple, pour x³ + ax = b, il pose a = c², b = c²h et obtient la solution comme intersection de la parabole y = x²/c et du cercle y² = x(h – x).

Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) classe un siècle plus tard les équations cubiques suivant l'existence de racines strictement positives et non pas comme Omar Khayyam qui suivait le signe des coefficients. Il résout les problèmes liés à l'homogénéité de dimension : le nombre x s'identifie aussi bien à une longueur qu'à une surface rectangulaire de côté 1 et x ou encore à un volume (1, 1, x). Il inaugure en outre l'étude des polynômes, introduisant leur dérivée, recherchant leur maximum, etc.

Renaissance

Scipione del Ferro (1465-1526)

En 1494, Luca Pacioli écrivit un important traité : Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita. Il y fait la somme des connaissances en mathématiques (plus particulièrement en algèbre) transmise par les Arabes. On trouve dans ce traité la résolution complète des équations des premier et deuxième degrés sans les solutions négatives. Il pensait que l'équation du troisième degré était insoluble par la méthode algébrique. Entre 1501 à 1502, il enseigna les mathématiques à l'université de Bologne. Il y rencontra un autre professeur de mathématiques : Scipione del Ferro. Il lui fit part de sa conviction sur l'insolubilité des équations du troisième degré. C'est alors que Scipione s'intéressa au problème.

Il fut le premier algébriste de la Renaissance à s’intéresser à une méthode fournissant une solution, sous forme de radicaux, de la racine réelle de l’équation du troisième degré sans terme quadratique (coefficient de x² nul). La découverte de cette formule est un immense pas en avant dans l’histoire des équations, sachant que les premières recherches d’une solution de l’équation du troisième degré remontent à l’Antiquité. Les travaux de del Ferro portent essentiellement sur la résolution de l’équation de la forme x³ = px + q, ainsi que x³ + px = q, et x³ + q = px (où p et q sont des entiers naturels, on ne travaillait autrefois qu’avec des nombres positifs, les nombres négatifs paraissent encore étranges et d'un maniement délicat), et cette formule peut aujourd’hui être généralisée par x³ + px + q = 0 où p et q sont des entiers relatifs.

De ses travaux, aucune trace n’a été retrouvée, en grande partie dû à sa réticence à la publication de son œuvre (courant à l’époque), mais aussi au fait que ses notes furent définitivement perdues. Au lieu de publier ses idées, il ne voulait les communiquer qu’à un groupe très réduit de personnes, quelques amis et élèves, et une polémique est née pour savoir qui reçut l’honneur de se voir confier les découvertes du grand mathématicien.

À sa mort en 1526, son gendre, Annibal de la Nave (ou Hannival Nave), marié à sa fille, Filippa, aurait hérité de ses notes, et donc de toutes ses découvertes inscrites dans ce fameux bloc-notes tant recherché. Annibal de la Nave fut aussi un mathématicien, qui aurait remplacé son beau-père à l’université de Bologne. À noter que des sources rapportent que del Ferro aurait volontairement communiqué ses découvertes à son gendre avant sa mort. Selon d’autres sources, del Ferro les aurait révélées avant sa mort à Antonio Maria Del Fiore (it), un de ses élèves. Cependant, selon la source donnée précédemment, ce serait le gendre de del Ferro, Annibal de la Nave, qui aurait communiqué les découvertes de son beau-père à un ami, Antonio Maria del Fiore en 1526 (qui se trouve donc être aussi un des élèves de del Ferro) et qui garda le secret jusqu'à la mort de Scipione del Ferro. Enfin, plusieurs sources donnent comme vérité les deux versions : Annibal de la Nave aurait hérité du bloc-notes contenant toutes les découvertes de son beau-père, et ce dernier aurait, en 1510 ou sur son lit de mort (1526), confié à son élève Antonio Maria del Fiore une partie de la méthode.

Il est établi, selon de nombreuses sources, qu'Antonio Maria del Fiore, à la mort de Scipione del Ferro, avait en sa possession la résolution de l’équation du 3^e degré sans terme quadratique, découverte par son professeur, et qu'Annibal de la Nave est l’héritier de Scipione del Ferro.

Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557)

Niccolò Fontana Tartaglia.

Par la suite, Anton Maria del Fiore ne divulgue pas la méthode mais se décide par contre à lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations. En 1531, Niccolo Fontana (Tartaglia) aurait également appris à résoudre les équations du troisième degré, soit par ses propres inventions, soit à la lumière d’une indiscrétion. Croyant à une imposture, del Fiore lança un défi public sous forme d’un concours portant sur la résolution de trente équations du type x³ + px = q à Tartaglia en 1535. Selon d’autres sources, del Fiore, croyant être le seul à détenir la résolution des équations du 3^e degré, lança de nombreux défis aux autres mathématiciens, avec somme d’argent à la clé, et Tartaglia releva le défi algébrique. Une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de trente équations du troisième degré du type x³ + px = q chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.

Tartaglia se serait alors consacré à la recherche d’une méthode de résolution d’équation, qu’il ne connaîtrait pas encore, et il arriva bientôt à résoudre des équations cubiques. Il aurait trouvé la solution dans la dernière nuit avant la date limite, et résolut en quelques heures les trente équations proposées par son concurrent alors que ce dernier n’en aurait résolu qu’une seule, voire aucune, durant les quarante jours. Selon d’autres sources encore, ce serait Scipione del Ferro qui aurait donné à Tartaglia la méthode de résolution des équations de troisième degré, et ce dernier l’aurait améliorée au point de résoudre les équations de 3^e degré en quelques minutes, contrairement à son collègue et adversaire qui peinait à résoudre une seule équation.

De toutes ces sources, on peut en retirer que Tartaglia connaissait une méthode rapide et générale pour résoudre les équations de 3^e degré de tout type après le défi avec del Fiore, qu’il remporta aisément. Il renonça par ailleurs au prix — trente banquets successifs —, ayant relevé ce défi pour l’honneur. Dans l'espoir de gagner d'autres concours, Tartaglia ne dévoila pas sa formule après le défi. Il fut reconnu comme l'inventeur de la formule de résolution des équations du troisième degré. Cette méthode de résolution resta secrète quelques années car Tartaglia ne la publia pas, à l’instar de Scipione del Ferro.

Jérôme Cardan (1501-1576)

En tant que conférencier de mathématique à Milan, Jérôme Cardan connaissait le problème de la résolution du 3^e degré. Il était d'accord avec la Summa de Luca Pacioli qui déclarait que la résolution algébrique des équations du 3^e degré était impossible. Très intrigué après le défi entre del Fiore et Tartaglia, Jérôme Cardan se passionne lui pour les équations cubiques à partir de 1539 et essaya de découvrir seul la méthode mais en vain. Il contacta alors Tartaglia et lui demanda de lui confier sa méthode en lui promettant de garder le secret. Ce dernier refusa. Cardan lui proposa de le présenter à un des plus puissants mécènes après l'empereur de Milan s'il acceptait de lui révéler sa méthode. Tartaglia révisa sa position, réalisant que l'appui du gouvernement milanais pouvait être une aide non négligeable à son ascension sociale. Il donna son accord pour révéler sa méthode à Cardan à condition qu'il jure de ne jamais la divulguer, ce que fit ce dernier, et Tartaglia lui révéla la méthode sous forme de poème pour aider à protéger le secret. En contrepartie, il obtint de Cardan une lettre de recommandation auprès du marquis qui lui fut inutile.

Certaines sources signalent qu’il réussit ainsi à étendre la méthode à toutes les équations du 3^e degré, bien que cela soit aussi mis au crédit de Tartaglia par d’autres sources.

En 1543, Cardan et Ludovico Ferrari se rendirent à Bologne et apprirent d'Annibal de la Nave que Scipione del Ferro avait résolu bien avant Tartaglia les équations du 3^e degré. Pour le leur prouver, il leur aurait confié le bloc-notes du feu Del Ferro. Bien qu'il ait juré de ne jamais révéler la méthode de Tartaglia, Cardan pensa que personne ne l'empêcherait de publier celle de Del Ferro.

En 1547, Cardan publia Ars Magna (Le Grand Art) bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3^e et 4^e degré. Depuis lors, la formule de résolution des équations du 3^e degré s'appelle formule de Cardan. Tartaglia fut furieux quand il découvrit que Cardan avait transgressé sa promesse. Tartaglia publia un livre Quesiti et inventioni diverse (Quelques problèmes et inventions) dans lequel il révélait sa version de l'histoire et sans cacher le parjure de Cardan. Grâce à son Ars Magna, Jérôme Cardan était devenu intouchable et reconnu comme le plus grand mathématicien de son temps. Tartaglia furieux insulte violemment Cardan qui est défendu par Ferrari. Ce dernier défie Tartaglia, qui accepte un débat public en 1548, dans une église à Milan devant quelques personnalités, y compris le gouverneur de Milan. Malgré son inexpérience en public, Ferrari fit une meilleure prestation que Tartaglia qui déclara forfait.

Cardan, durant toute sa vie, fit tout ce qui était en son pouvoir pour que son nom reste attaché à l’Histoire. Bien qu’il ne découvrît pas la méthode de résolution de l’équation du 3^e degré (Scipione del Ferro), ni ne l’élargît à tous les types (Tartaglia), ni par ailleurs ne découvrît celle pour l’équation du 4^e degré (Ferrari), son nom est à jamais et communément attaché à la résolution de tous les types d’équations du 3^e degré : la méthode de Cardan.

Cardan insère la résolution des équations du 3^e degré dans un cadre algébrique qui permet de comprendre la méthode et fait d’énormes progrès grâce à la méthode de Tartaglia et l’aide de Ferrari comme la résolution des différents cas cubiques.

Raphaël Bombelli (1526-1572)

Après qu'en 1546 la controverse entre Cardan et Tartaglia devint publique avec la parution des Quesiti et inventioni diverse de Tartaglia, Raphaël Bombelli, admirateur de Cardan, conçut le projet d'écrire un traité d'algèbre : Algebra. Celui-ci, exposition systématique et logique des connaissances algébriques de l'époque, est rédigé entre 1557 et 1560, et reprend les travaux de Cardan de son vivant. Cette œuvre ne sera publiée que quelques mois avant la mort de son auteur.

En ce qui concerne les équations de degré supérieur à deux, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs, mais son habileté et sa maîtrise à utiliser formellement les racines de nombres négatifs le rendent capable d'établir que la formule de Scipione del Ferro est valable dans tous les cas. On peut dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient. L'équation du 4^e degré est aussi traitée par la méthode de Ferrari.

En étudiant les formules de Cardan, il est amené à introduire son fameux piu di meno. Les nombres imaginaires sont nés. Il remarqua que lorsque la formule de Cardan aboutissait à un discriminant négatif, la méthode géométrique donnait une solution réelle positive. Il sera le premier à utiliser dans ses calculs, à titre transitoire, des racines carrées imaginaires de nombres négatifs pour obtenir finalement la solution réelle tant recherchée. Il arriva à la conclusion que toute équation du 3^e degré possédait au moins une solution réelle.

Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, piu di meno et meno di meno. Bombelli considère les racines des équations comme des sommes algébriques de nombres positifs affectés d'un des quatre signes suivants : piu, meno, piu di meno, meno di meno, qui correspondent à peu près à nos +, –, +i, –i.

Leonhard Euler (1707-1783)

C'est Euler qui aura éclairci la détermination des trois racines d’une équation cubique.

Résolution

• Méthode de Tschirnhaus
• Méthode de Cardan
• Méthode de Bézout

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cubic function » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Article connexe

Zéros complexes d'équations réelles

Lien externe

Cours sur les équations cubiques