Utilisateur:RadXman/Vitesse du son

Ce document présente la calcul de la vitesse du son dans :

• un gaz parfait
• un gaz de van der Waals
• un gaz quelconque
• des fluides dyphasiques

Gaz parfait

Formules générales

La vitesse du son dans un gaz parfait est fonction du coefficient de Laplace $\gamma$ (gamma), de la masse volumique $\rho$ ainsi que de la pression $P$ du gaz et se calcule théoriquement ainsi :

(I) $c_{\text{gaz parfait}}={\sqrt {\frac {\gamma \cdot P}{\rho }}}$

avec :

• $\gamma ={C_{P} \over C_{V}}$, coefficient de Laplace,
• $C_{P}$ et $C_{V}$, les capacités thermiques respectivement isobare et isochore.

La vitesse du son peut être aussi calculée à l'aide de la constante spécifique du gaz parfait $R_{s}={R \over M}$ (avec $M$ la masse molaire et $R$ la constante universelle des gaz parfaits) et de $T$, la température thermodynamique en kelvins (K) :

(II) $c_{\text{gaz parfait}}={\sqrt {\gamma \cdot R_{s}\cdot T}}$

Démonstration

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

$c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}$

Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par :

$\chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}$.

Il est relié au coefficient de Laplace $\gamma$ par la relation de Reech :

$\gamma ={\chi _{T} \over \chi _{S}}$

avec $\chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}$ le coefficient de compressibilité isotherme qui vaut, pour un gaz parfait, $\chi _{T}={1 \over P}$, puisque selon la loi des gaz parfaits $V={nRT \over P}$.

La célérité du son dans un gaz parfait vaut donc :

$c={\sqrt {1 \over \rho \,\chi _{S}}}={\sqrt {\gamma \over \rho \,\chi _{T}}}={\sqrt {\gamma \cdot P \over \rho }}$

$n$ moles de gaz parfait de masse molaire $M$ ont une masse $m=nM$ et occupent un volume $V={nRT \over P}$ sous la pression $P$ et à la température $T$. La masse volumique vaut alors $\rho ={m \over V}=M{n \over V}=M{P \over RT}$. Avec $R$ la Constante universelle des gaz parfaits, on définit la constante spécifique du gaz parfait étudié : $R_{s}={R \over M}$. On réécrit en conséquence :

$c={\sqrt {\gamma \,R_{\mathrm {s} }\,T}}$

La formule (I) montre que la célérité du son $c$ dans un gaz parfait est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique ; la formule (II) montre également qu'elle est indépendante de la pression du gaz et de la fréquence, mais qu'elle est proportionnelle à la racine carrée de la température. L'indépendance de la vitesse du son par rapport à la pression du gaz n'est toutefois vérifiée que pour des pressions voisines de la pression atmosphérique normale (condition d'application de la loi des gaz parfaits).

La constante $R_{\mathrm {s} }$ est une grandeur indépendante de la température. Le coefficient adiabatique $\gamma$ dépend peu de la température $T$. Les valeurs du ratio $\gamma$ sont approximativement égales à :

• $\gamma$ = 5/3 = 1,67 pour les gaz parfaits monoatomiques ;
• $\gamma$ = 7/5 = 1,40 pour les gaz parfaits diatomiques ;
• $\gamma$ = 1,33 pour les gaz parfaits polyatomiques.

Formules approchées pour l'air

Pour l'air, composé principalement de dioxygène et de diazote, gaz diatomiques :

• $R_{\mathrm {s,air} }$ = 287 J kg⁻¹ K⁻¹ ;
• $\gamma _{\mathrm {air} }$ = 1,4.

Avec l'équation (II), on obtient la vitesse thérorique du son dans l'air sec assimilé à un gaz parfait en m/s en fonction de la température en kelvins :

Pour l'air sec : selon les auteurs $c_{\mathrm {air} }=20{,}05\,{\sqrt {T}}$ ou $c_{\mathrm {air} }=20{,}06\,{\sqrt {T}}$ ou : $c_{\mathrm {air} }=20\,{\sqrt {T}}$ (en m·s⁻¹)

Les différences entre auteurs proviennent principalement de la prise en compte de constituants mineurs de l'air, principalement l'argon et le gaz carbonique, et des incertitudes qui affectent les calculs des constantes. L'air n'étant pas un gaz parfait, ces formules ne donnent qu'un résultat approximatif. Des calculs plus raffinés tiennent compte des interactions entre molécules (viriel) et apportent des correctifs. De ce fait, la pression et la fréquence affectent les dernières décimales.

Au voisinage de la température ambiante, la célérité du son dans l'air peut être approchée par la linéarisation suivante :

$c_{\mathrm {air} }=331{,}5+0{,}607\cdot \theta$ (en m·s⁻¹)

où $\theta$ (thêta) est la température en degrés Celsius (°C) : $\theta =T-273{,}15$, la température $T$ étant en kelvin (K). On peut simplifier cette formule en : $c_{\mathrm {air} }=331+0{,}6\cdot \theta$.

La vitesse du son dans l'air augmente faiblement avec l'humidité, la différence pouvant atteindre un peu plus d'un mètre par seconde. L'air est un milieu faiblement dispersif, surtout s'il est humide. La vitesse augmente peu avec la fréquence, l'écart ne dépassant guère 0,1 m/s dans le spectre audible, mais peut être sensible pour les ultrasons à haute fréquence.

Relation entre vitesse du son et vitesse des particules

La vitesse quadratique moyenne ${\hat {v}}$ des particules d'un gaz parfait est corrélée à la température selon :

${\hat {v}}={\sqrt {3k_{\mathrm {B} }T \over m}}$

La masse volumique $\rho$ d'un gaz parfait vaut :

$\rho ={PM \over RT}={Pm \over k_{\mathrm {B} }T}$

avec :

• $P$ la pression,
• $m$ la masse d'une particule,
• $M$ la masse molaire du gaz : $M=m\cdot N_{\mathrm {A} }$,
• $N_{\mathrm {A} }$ le nombre d'Avogadro,
• $k_{\mathrm {B} }$ la constante de Boltzmann,
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits : $R=k_{\mathrm {B} }\cdot N_{\mathrm {A} }$.

En remplaçant $\rho$ dans l'équation (I) on a par conséquent :

$c={\sqrt {\gamma {k_{\mathrm {B} }T \over m}}}$

puis en remplaçant la température par la formule de la vitesse quadratique moyenne :

$c={\sqrt {\gamma \over 3}}\,{\hat {v}}$

Cette relation indique que dans le domaine des gaz parfaits (c'est-à-dire à des pressions modérées), la vitesse du son est directement proportionnelle à la vitesse des particules.

Dans le cas d'un gaz parfait diatomique comme l'air $\gamma =7/5$, on a par conséquent :

$c_{\text{GPD}}\approx 0,683\,{\hat {v}}$

Gaz de van der Waals

La vitesse du son dans un gaz de van der Waals est fonction de deux variables thermodynamiques indépendantes, classiquement la température $T$ et le volume molaire ${\bar {V}}$ :

$c={\sqrt {{\gamma \over M}\left({\frac {RT{\bar {V}}^{2}}{\left({\bar {V}}-b\right)^{2}}}-{2a \over {\bar {V}}}\right)}}$

avec :

• $\gamma$ le coefficient adiabatique, dépendant du fluide considéré,
• $M$ la masse molaire, dépendant du fluide considéré,
• $a$ et $b$, deux paramètres propres à l'équation d'état de van der Waals, dépendant du fluide considéré,
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits.

Démonstration

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

$c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}$

Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par : $\chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}$. Il est relié au coefficient de Laplace $\gamma$ par la relation de Reech : $\gamma ={\chi _{T} \over \chi _{S}}$, avec $\chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}$ le coefficient de compressibilité isotherme. On réécrit donc:

$c={\sqrt {\gamma \over \chi _{T}\,\rho }}$

L'équation d'état de van der Waals s'écrit :

$P={nRT \over V-nb}-{an^{2} \over V^{2}}$

avec :

• $a$ le terme de cohésion (constant) ;
• $b$ le covolume molaire (constant) ;
• $n$ la quantité de matière (nombre de moles) ;
• $P$ la pression ;
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• $T$ la température absolue ;
• $V$ le volume.

$n$ moles de gaz de masse molaire $M$ ont une masse $m=nM$ et occupent un volume $V$ sous la pression $P$ et à la température $T$. La masse volumique vaut alors $\rho ={m \over V}=M{n \over V}$ et le volume molaire ${\bar {V}}={V \over n}$. Le coefficient de compressibilité isotherme vaut alors, pour un gaz de van der Waals :

$\chi _{T}\!\left(T,{\bar {V}}\right)={\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right)}$

On réécrit en conséquence :

$c={\sqrt {{\gamma \over M}{{\bar {V}} \over \chi _{T}}}}={\sqrt {{\gamma \over M}\left({RT{\bar {V}}^{2}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right) \over \left({\bar {V}}-b\right)^{2}}\right)}}$

en réarrangeant, on trouve :

$c={\sqrt {{\gamma \over M}\left({\frac {RT{\bar {V}}^{2}}{\left({\bar {V}}-b\right)^{2}}}-{2a \over {\bar {V}}}\right)}}$

Si l'on définit :

• $a'={a \over M^{2}}$ et $b'={b \over M}$,
• $R_{s}={R \over M}$, la constante spécifique du gaz,
• $\rho ={M \over {\bar {V}}}$, la masse volumique,

si l'on considère d'autre part que $c_{P}-c_{V}\approx R_{s}$, la relation de Mayer pour les gaz parfaits (ce qui n'est pas rigoureux pour un gaz de van der Waals), avec :

• $c_{P}$ et $c_{V}$ les capacités thermiques spécifiques (ou massiques),
• $\gamma ={C_{P} \over C_{V}}={c_{P} \over c_{V}}\approx {R_{s} \over c_{V}}+1$,

alors on a approximativement :

$c\approx {\sqrt {\left({R_{s} \over c_{V}}+1\right)\left({R_{s}T \over \left(1-\rho b'\right)^{2}}-2a'\rho \right)}}$

Fluide quelconque

Sans onde de cisaillement, la vitesse du son se propage seulement par compression. Si le son n'est pas trop fort ($\Delta P_{\text{sonore}}\ll P_{\text{ambiant}}$), la compression et la détente du fluide peuvent être considérées comme étant isentropiques et la vitesse du son est :

$c_{\text{fluide}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}}}$

La racine carrée de la dérivée partielle de la pression $P$ par la masse volumique $\rho$ à entropie $S$ constante.

La célérité du son dans un fluide peut être aussi exprimée en une fonction du coefficient de compressibilité isentropique $\chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}$ selon :

$c_{\text{fluide}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}$

Démonstration

Soit un fluide non visqueux, initialement au repos. Les propriétés du milieu en un point $\mathrm {M}$ situé à une distance $r$ de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :

• masse volumique : $\rho \!\left(\mathrm {M} ,t\right)=\rho _{0}+\rho '\!\left(r,t\right)$,
• pression : $P\!\left(\mathrm {M} ,t\right)=P_{0}+P'\!\left(r,t\right)$,
• vitesse : composante radiale uniquement, de moyenne temporelle nulle, notée $u\!\left(r,t\right)$.

Les équations de Navier-Stokes relient les variations de $\rho$, $P$ et $u$, tandis qu'une équation d'état est nécessaire pour relier $\rho$ à la pression $P$.

Bilan de masse (équation de continuité)

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\left(\rho \cdot {\vec {v}}\right)=0$

Soit : ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot {\text{div}}\left({\vec {v}}\right)+{\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho =0$

En négligeant le terme convectif ${\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho$ puisque ${\vec {v}}\approx {\vec {0}}$, en assimilant $\rho$ à sa moyenne temporelle $\rho _{0}$, et en développant le tout en coordonnées sphériques, il vient :

(E1) ${\frac {\partial \rho '}{\partial t}}=-{\frac {\rho _{0}}{r^{2}}}{\frac {\partial \left(r^{2}u\right)}{\partial r}}$

Bilan de quantité de mouvement (équation d'Euler en l'absence de prise en compte de la viscosité)

$\rho {\frac {{\text{D}}{\vec {v}}}{{\text{D}}t}}=-{\vec {\text{grad}}}P$

Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit : $\rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}$

En négligeant le terme $u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}$ puisque $u\approx 0$ et en assimilant $\rho$ à sa moyenne temporelle $\rho _{0}$, il vient :

(E2) ${\frac {\partial P'}{\partial r}}\approx -\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}$

Équation d'état

La masse volumique est reliée à la pression par l'équation d'état du fluide $P=f\!\left(\rho \right)$, dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropique $\chi _{S}={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial P}}\right)_{S}$. On peut donc écrire :

(E3) $\rho '\approx \rho _{0}\chi _{S}P'$

Expression du champ de pression

En éliminant $\rho '$ de l'équation (E1) grâce à l'équation (E3), nous obtenons :

${\frac {\partial P'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {2u}{r}}\right)$

${\frac {\partial P'}{\partial r}}=-\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}$

La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport à $r$ donne :

${\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial u}{\partial t}}\right)$

${\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}=-\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r\partial t}}$

En éliminant ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}$ et ${\frac {\partial u}{\partial t}}$, on aboutit à :

${\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial P'}{\partial r}}=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}$

Soit :

$\Delta P'=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}$

où le symbole $\Delta$ désigne l'opérateur laplacien.

Il s'agit de l'équation de propagation d'une onde sphérique de célérité :

Célérité : $c={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{S}}}}$

La solution générale du champ de pression est de la forme :

Champ de pression : $P=P_{0}+{\frac {1}{r}}\left[f_{1}\!\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+f_{2}\!\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\right]$

Formule de Newton

Dans son Traité de mécanique céleste, Laplace rappelle sa formule publiée en 1816 dans les Annales de Physique et de Chimie :

« La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant. »

La vitesse du son fait intervenir la masse volumique $\rho$ et la compressibilité isentropique $\chi _{S}$ du milieu selon l'hypothèse isentropique de Laplace :

$c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}$

Newton avait basé son modèle sur une hypothèse isotherme du son, ce qui le conduisit à une formule équivalente à :

$c_{\text{Newton}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}$

Les compressibilités isentropique $\chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}$ et isotherme $\chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}$ sont liées par la relation de Reech au coefficient de Laplace $\gamma$ :

$\gamma ={c_{P} \over c_{V}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}$

Avec :

• $c_{P}$ la capacité thermique isobare massique (anciennement chaleur spécifique sous une pression constante),
• $c_{V}$ la capacité thermique isochore massique (anciennement chaleur spécifique sous un volume constant).

Ainsi, les expressions des vitesses du son selon Laplace et Newton sont liées par :

$c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}={\sqrt {\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}{\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}={\sqrt {\gamma }}\,c_{\text{Newton}}$

$c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {c_{P}}{c_{V}}}}\,c_{\text{Newton}}$

Pour l'air, gaz diatomique, $\gamma \approx 1{,}4$, d'où :

$c_{\text{Laplace}}\approx 1{,}183\cdot c_{\text{Newton}}$

$c_{\text{Newton}}\approx 0{,}845\cdot c_{\text{Laplace}}$

La formule de Laplace donnant la vitesse du son correcte dans l'air, la formule de Newton donne une valeur d'environ 16 % inférieure à la réalité.

Fluides diphasiques

Dans le cas d'un fluide diphasique (bulles d'air dans l'eau liquide par exemple), la vitesse du son se trouve fortement modifiée. Le calcul de la vitesse du son est alors assez complexe et dépend notamment des relations qui unissent les deux fluides (par exemple, dans le cas d'un liquide avec des bulles de vapeur, il faudra prendre en compte les changements de phase).

Néanmoins, un résultat général peut être donné. La vitesse du son dans ce mélange est bien inférieure à la plus petite des deux vitesses dans les milieux séparés. Par exemple, pour un mélange eau/vapeur la vitesse du son est autour de 30 m/s pour un taux de présence de 0,5. Cela s'explique en considérant la masse volumique moyenne du mélange, qui est comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur, et la compressibilité (ou la constante d'élasticité moyenne) qui est elle aussi comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur. En introduisant les bulles de vapeur dans l'eau, on a tout à la fois diminué la masse volumique moyenne du milieu (cette modification, seule, tend à augmenter la vitesse du son) et augmenté sa compressibilité (cette modification, seule, diminue la vitesse du son). Mais on a beaucoup plus augmenté la constante élastique que diminué la masse volumique. C'est pourquoi on a obtenu une vitesse du son plus faible dans ce mélange que dans l'eau pure.