Équations d'Euler

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique.

L'histoire[1] de ces équations remonte à Leonhard Euler[2] qui les a établies pour des écoulements incompressibles (1857). La relation avec la thermodynamique est due à Pierre-Simon de Laplace[3] (1816) et l'explication des discontinuités à Bernhard Riemann[4] (1860) dont les travaux ont précédé ceux de Rankine et Hugoniot.

Établissement des équations pour un milieu compressible[modifier | modifier le code]

À partir des lois de conservation[modifier | modifier le code]

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive entraînée à la vitesse en utilisant le théorème de transport de Reynolds sur un domaine de contrôle d'enveloppe sur laquelle on définit la normale sortante

Cette équation de bilan dit que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égal à ce qui sort ou ce qui rentre (deuxième terme) plus ce qui est créé ou disparaît dans le volume au travers du terme S.

En appliquant le théorème de flux-divergence le terme surfacique est transformé en un terme volumique :

et par application de la règle de Leibniz

Cette expression est valide quel que soit le volume de référence. Elle implique donc que l'intégrande soit nul :

Formulation eulérienne[modifier | modifier le code]

La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.

On obtient le système d'Euler en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique , à la quantité de mouvement et à l'énergie totale .

  • Équation de continuité (équation de bilan de la masse)
  • Équation de bilan de la quantité de mouvement
  • Équation de bilan de l'énergie

Dans ces équations :

  • représente le temps (unité SI : s) ;
  • désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg⋅m-3) ;
  • désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m⋅s-1) ;
  • désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
  • le tenseur unité ;
  • est la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : m⋅s-2) ;
  • est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J⋅kg-1) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne e par :

Le système doit être fermé par une relation thermodynamique, par exemple celle reliant l'énergie interne aux autres valeurs . Pour un gaz parfait :

est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume constant, respectivement.

Formulation lagrangienne[modifier | modifier le code]

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté . L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité . Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement la dérivée particulaire vaut :

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par s'écrivent :

  • Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
  • Équation de bilan de la quantité de mouvement
  • Équation de bilan de l'énergie

À partir de l'équation de Boltzmann pour un gaz[modifier | modifier le code]

On note la fonction de distribution statistique de la vitesse à l'instant au point pour la particule (atome ou molécule) de masse . Le nombre probable de particules dans le volume , de vitesses à cet instant est . La distribution statistique se mesure donc en s3⋅m-6.

L'équation de Boltzmann s'écrit

, l'opérateur (ou noyau) de collision, est un opérateur intégral quadratique donnant l'effet des collisions que l'on supposera élastiques pour simplifier le problème : pas d'échange entre degrés de liberté internes, rotation et translation.

Du microscopique au macroscopique[modifier | modifier le code]

L'équation de Boltzmann décrit au niveau microscopique l'évolution de particules. Pour décrire le niveau macroscopique on définit

- la densité particulaire
- la masse volumique
- la vitesse moyenne
- la vitesse relative
- l'énergie interne
- la pression

On peut alors définir une température à partir de l'équation d'état

Équations d'évolution[modifier | modifier le code]

Les interactions conservent la masse, la quantité de mouvement et l'énergie. On dit que sont des invariants collisionnels. En multipliant l'équation de Boltzmann successivement par chacune de ces quantité et en sommant sur les vitesses tous les seconds membres s'annulent :

En effet ce qui est vrai pour chaque interaction individuelle l'est forcément pour l'ensemble de celles-ci.

On obtient ainsi aisément les équations d'évolution macroscopiques appelées équations d'Enskog dans le cas général et qui ici conduisent aux équations d'Euler données ci-dessus.

La distribution microscopique des vitesses correspondante est la distribution de Maxwell, ce qui n'est pas le cas pour les équations de Navier-Stokes.

Autres formes des équations[modifier | modifier le code]

Équation de quantité de mouvement[modifier | modifier le code]

On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :

Conservation de l'énergie[modifier | modifier le code]

Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :

Le terme peut être remplacé par est l'enthalpie massique et l'enthalpie totale.

Conservation de l'énergie cinétique[modifier | modifier le code]

En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :

Équation pour la température[modifier | modifier le code]

En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie dans sa première version on obtient une équation sur le couple température-pression :

est la capacité thermique massique à pression constante reliée à l'enthalpie par :

Conservation de l'entropie[modifier | modifier le code]

Le premier principe de la thermodynamique pour un gaz parfait permet de faire apparaître l'entropie S dans le cas d'un milieu réversible où l'on néglige le travail lié à  :

D'où :

En utilisant l'équation de continuité, cette expression devient :

L'écoulement est isentropique sur une ligne de courant pour autant qu'il soit continu. On voit ci-dessous que ce n'est pas le cas partout du fait de l'existence possible de discontinuités correspondantes à des transformations thermodynamiques irréversibles.

Propriétés du système d'Euler[modifier | modifier le code]

Les solutions analytiques des équations d'Euler sont très rares, même pour des problèmes unidimensionnels[5].

Courbes caractéristiques et invariants de Riemann[modifier | modifier le code]

La nature mathématique du système implique un certain nombre de propriétés qui caractérisent un écoulement eulérien. On se place dans le cas unidimensionnel et d'un gaz parfait, suffisant pour l'analyse. On néglige qui représente généralement la gravité et dont les effets ne sont pas sensibles dans les écoulements fortement compressibles dont on traite ici.

Les équations de conservation de masse et de quantité de mouvement s'écrivent :

À partir des expressions suivantes pour un gaz parfait et on peut écrire :

En portant dans les équations de conservation, celles-ci deviennent :

En additionnant et soustrayant ces deux équations on obtient :

Ces quantités sont les invariants de Riemann. Ce nom vient de la propriété suivante. Soient les courbes caractéristiques définies par :

La variation de sur cette courbe d'abscisse curviligne s s'écrira :

est donc une quantité conservée sur la courbe caractéristique. L'intersection des courbes et (qui sont des inconnues du problème) permet de calculer les valeurs locales de V et a. Par ailleurs on connaît l'entropie dont on vu vu qu'elle était constante le long de la ligne de courant correspondante. On peut en déduire toutes les quantités thermodynamiques locales.

Deux caractéristiques analogues peuvent se croiser. À l'intersection, si les solutions étaient régulières, les quantités physiques seraient multivaluées. Cette impossibilité est la cause de l'apparition de discontinuités qui sont décrites par les relations de Rankine-Hugoniot.

Ces résultats peuvent être obtenu par l'algèbre linéaire[6]. Cette méthode permet de généraliser au cas pluridimensionnel[7]. Elle est la base des méthodes utilisées pour la résolution numérique[8].

Analyse dimensionnelle[modifier | modifier le code]

Les équations d'Euler font intervenir 6 quantités et 4 dimensions : temps, espace, masse, température. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre donc l'existence de 2 variables adimensionnelles permettant l'analyse du système. Ces variables sont par exemple les nombre de Mach, Prandtl et Froude. Pour écrire ces nombres il faut définir des quantités de référence qui sont caractéristiques du problème étudié. Définissons les variables suivantes servant de références :

  • une longueur , par exemple le rayon de courbure de paroi en aérodynamique,
  • une vitesse , une masse volumique et une température , par exemple les valeurs en amont (condition aux limites), d'où on déduit une pression ,
  • une seconde vitesse pour la propagation des ondes sonores, par exemple pour un gaz parfait,
  • une énergie interne , par exemple pour un gaz parfait,
  • une accélération .

On peut alors définir pour ce problème les variables réduites suivantes :

- espace
- temps
- masse volumique
- énergie interne
- pression

et les variables adimensionnelles :

- le nombre de Mach
- le nombre de Froude

Le système d'équations en valeurs réduites s'écrit :

  • conservation de la masse
est l'opérateur nabla adimensionné utilisé dans le système de coordonnées transformé.
  • conservation de la quantité de mouvement
  • conservation de l'énergie
avec
Dans le cas d'un gaz parfait

Cette approche est utilisable pour l'analyse des équations et la réalisation d'expériences jugées réalistes parce que respectant le critère d'analogie en termes de nombres adimensionnels.

Écoulements incompressibles[modifier | modifier le code]

Le système de lois de conservation d'écrit dans ce cas :

  • continuité
  • conservation de la quantité de mouvement
  • conservation de l'énergie :

On remarque que la conservation de l'énergie est découplée des autres équations de conservation.

Écoulement incompressible stationnaire[modifier | modifier le code]

Examinons le cas particulier d'un écoulement stationnaire et incompressible défini par :

En développant le premier terme et compte tenu de l'équation de continuité :

Cette expression qui dit que est constant le long d'une ligne de courant est le théorème de Bernoulli.

Équation du tourbillon[modifier | modifier le code]

Introduisons une nouvelle notion : le tourbillon, vecteur défini par :

On utilise indifféremment la vorticité . Cette quantité est très utile dans l'étude des rotations dans l'écoulement, lesquelles ne correspondent pas nécessairement à une courbure des lignes de courant.

On obtient une équation en prenant le rotationnel de l'équation de quantité de mouvement en tenant compte de l'identité  :

En utilisant l'identité

et en remarquant que les deux premiers termes sont nuls, le premier par l'équation de continuité, le second du fait de lidentité on peut écrire une équation de transport du tourbillon :

Cette quantité ne se conserve pas. Toutefois on remarque que si elle est initialement nulle, elle le restera.

Conservation de la circulation de la vitesse[modifier | modifier le code]

On définit la circulation de la vitesse comme l'intégrale sur le contour fermé  :

On s'intéresse à la variation temporelle de cette quantité, c'est-à-dire au devenir des éléments du fluide appartenant à ce contour :

Or . Le contour étant fermé, la seconde intégrale est donc nulle.

Pour un écoulement que l'on suppose sans discontinuité donc isentropique l'enthalpie est donnée par la relation thermodynamique :

On peut donc écrire la conservation de la quantité de mouvement sous la forme :

Soit une surface limitée par , de normale . Le théorème de Stokes permet d'écrire, compte tenu de l'identité  :

La circulation de la vitesse est conservée dans un écoulement sans discontinuité.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Demetrios Christodoulou, « The Euler Equations of Compressible Flows », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 44, no 4,‎ (lire en ligne)
  2. Leonhard Euler, « Principes généraux du mouvement des fluides », Mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin, vol. 11,‎ (lire en ligne)
  3. Pierre-Simon de Laplace, « Sur la vitesse du son dans l’air et dans l’eau », Annales de Chimie et de Physique III,‎ (lire en ligne)
  4. (de) Bernhard Riemann, « Uber die Fortpfanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungswete” », Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalishe Klasse, vol. 8,‎ (lire en ligne)
  5. (en) S. Tsangaris et Th. Pappou, « Analytical Solutions for the Unsteady Compressible Flow Equations as Test Cases for the Verification of Numerical Schemes », Rapport ADA390566,‎ (lire en ligne)
  6. Eric Goncalvès da Silva, « Résolution numérique des équations d'Euler 1D », HAL cel-00556980,‎ (lire en ligne)
  7. (en) Thomas H. Pullian, « The Euler Equations », Note NASA,‎ (lire en ligne)
  8. (en) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, (ISBN 978-3-540-25202-3)

Articles connexes[modifier | modifier le code]