Produit direct

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La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli[réf. souhaitée]. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne T et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si T et sont associatives, alors la loi est associative.
  • Si T et sont commutatives, alors la loi est commutative.
  • Si T admet un élément neutre e et si admet un élément neutre f, alors est neutre pour .
  • Si x admet un symétrique x' pour T et si y admet un symétrique y' pour , alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas[modifier | modifier le code]

Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien ∏iI Ei de la façon suivante :

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si chaque loi est associative, la loi est associative.
  • Si chaque loi est commutative, la loi est commutative.
  • Si chaque loi possède un élément neutre ei (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (ei)iI est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour .
  • Si chaque loi possède un élément neutre et si dans chaque Ei, un élément quelconque xi possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yi, alors la famille (xi)iI admet la famille (yi)iI comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Article détaillé : produit direct (groupes).

Produit direct d'anneaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Produit d'anneaux.

Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni de deux lois et . On peut comme précédemment définir une loi , produit direct des et une loi , produit direct des lois .

Si chaque loi est distributive par rapport à la loi , alors la loi est distributive par rapport à la loi .

En particulier, si chaque Ei est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soit une famille (Ei)iI d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏iI Ei un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (Ei)iI[1]  :

Le vecteur nul est la famille (0)iI formée par les vecteurs nuls des espaces Ei.

Lorsque tous les Ei sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏iI Ei est l'espace vectoriel EI des applications de I dans E[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, section 5 pour les produits infinis et p. A-II-10 pour les produits directs de modules.
  2. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, Exemple 4, p. 166-167.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Somme directe