Permutation circulaire

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En mathématiques, une permutation circulaire ou cycle est un cas particulier de permutation. Une permutation circulaire agit comme un décalage circulaire pour un certain nombre d'éléments, et laisse tous les autres inchangés.

Les permutations circulaires permettent d'illustrer le fonctionnement général des permutations, puisqu'une permutation quelconque se décompose en un produit de cycles fonctionnant de manière indépendante.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un entier k ≥ 2. Une permutation est un k-cycle, ou permutation circulaire de longueur k, s'il existe des éléments a1, … , ak distincts tels que σ envoie l'élément a1 sur a2, puis a2 sur a3etc., et enfin ak sur a1 et si tous les autres éléments restent inchangés.

Un tel cycle se note habituellement sous la forme (a1ak). Avec cette notation, (a1ak) = (a2ak a1).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Exponentiation[modifier | modifier le code]

Si c est un k-cycle, ses puissances successives vérifient

,

ce qui veut dire que c est d'ordre k, ou encore : engendre un groupe cyclique d'ordre k.

En revanche, les puissances de c ne sont pas toutes à proprement parler des permutations circulaires (même si ce sont encore des décalages circulaires). Par exemple si c = (1 2 3 4) alors c2 = (1 3)(2 4) est un produit de deux permutations circulaires d'ordre 2, des transpositions. Plus précisément, ci est une permutation circulaire si et seulement si i et k sont premiers entre eux.

Parité[modifier | modifier le code]

Un k-cycle est :

Une démonstration est fournie dans l'article sur la signature d'une permutation. Une autre méthode consiste à exhiber une décomposition de la permutation en transpositions :

.

La permutation est donc la composée de k – 1 transpositions.

Conjugaison[modifier | modifier le code]

La conjuguée d'une permutation circulaire d'ordre k, c = (a1 a2ak) par une permutation σ, est la permutation σ ∘ c ∘ σ−1. Il s'agit encore d'un k-cycle :

et réciproquement, tout k-cycle peut s'écrire sous cette forme en choisissant convenablement σ, ce qui signifie que la classe de conjugaison (ensemble des conjuguées) d'un k-cycle c est l'ensemble de tous les k-cycles (pour une généralisation, voir le § « Classes de conjugaison » de l'article sur le groupe symétrique).

Dans le groupe symétrique Sn, les k-cycles sont au nombre de

D'après la formule des classes, le centralisateur de c est donc d'ordre (n – k)!k. Il est par conséquent réduit à l'ensemble des produits, par l'une des k puissances de c, de l'une des (n – k)! permutations de support disjoint de celui de c.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Entier transposable