Principia Mathematica

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Principia Mathematica
Image illustrative de l'article Principia Mathematica

Auteur Bertrand Russell et Alfred North Whitehead
Titre Principia Mathematica
Date de parution 1910

Les Principia Mathematica sont une œuvre en trois volumes d'Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, publiés à compte d'auteur[n 1] en 1910-1913. Cette œuvre a pour sujet les fondements des mathématiques. Avec en particulier l'idéographie de Gottlob Frege, c'est un ouvrage fondamental, dans la mesure où il participe de façon décisive à la naissance de la logique moderne.

Origine[modifier | modifier le code]

Entre 1898 et 1903 Whitehead travaille à l'édition d'un deuxième volume de son Treatise on Universal Algebra (de)[2]. Il se rend compte que son approche est similaire à celle que choisit Russell dans le deuxième volume des Principles of Mathematics (en)[2], ouvrage lui aussi en projet[n 2]. Ils décident donc de ne pas publier leurs travaux personnels et de travailler ensemble[2].

Contenu[modifier | modifier le code]

Page 379 du Volume I des Principia Mathematica.
✸54.43: «From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1 + 1 = 2.» (De cette proposition il suivra, lorsque l'addition arithmétique a été défini, que 1+1=2)—Volume I, 1e édition, page 379. La preuve est achevée dans le volume II, 1e édition, page 86, accompagné du commentaire, «The above proposition is occasionally useful.» (La proposition ci-dessus est parfois utile).

Les Principia englobent la théorie des ensembles, avec les nombres cardinaux les nombres ordinaux, ainsi que les nombres réels. Des théorèmes plus avancés de l'analyse réelle n'ont pas été inclus. Un quatrième volume était initialement prévu, mais n'a jamais été réalisé[4].
Ils utilisent une notation logique développée par Peano, bien qu’elle ait été réadaptée, dans l'optique de rendre le contenu du livre plus clair, et plus concis[5].

Édition résumée[modifier | modifier le code]

Il existe une édition résumée[6] à mi-chemin entre l'œuvre complète et le livre moins technique de 1919 de Russell[7],[8],[9], Introduction à la philosophie mathématique. En 1925, les auteurs ont ajouté une Introduction à la Deuxième édition[n 3], un Appendice A (qui s'est substitué au ✸9) et un nouvel Appendice C.

Importance du traité[modifier | modifier le code]

Le Principia est considéré comme un des livres les plus influents de l'histoire de la logique, comparable en cela à l'Organon d'Aristote[11]. Il a joué un rôle moteur dans la recherche sur les fondements des mathématiques.

La Modern Library (en) l'a classé 23e sur une liste comprenant les cent livres non fictionnels anglais les plus importants du vingtième siècle[12].

Le traité essaye de déduire tous les théorèmes mathématiques à partir d'une liste bien définie d'axiomes et de règles de déduction, en utilisant un langage logique-symbolique particulier.

Un des buts des Principia est de résoudre les paradoxes qui apparaissaient dans Les Fondements de l'arithmétique de 1884 de Gottlob Frege, et qui ont été mis en évidence par le paradoxe de Russell de 1901. La « théorie des types logiques » résout ce paradoxe de la façon suivante : un ensemble est différent, ontologiquement, de ses éléments, donc un ensemble ne peut appartenir à lui-même.

Bases théoriques[modifier | modifier le code]

Contrairement à une théorie formaliste, la théorie «logiciste» du Principia Mathematica n'a pas «précisé la syntaxe du formalisme». Les interprétations de cette théorie (au sens de la théorie des modèles) sont présentés en termes de valeurs de vérité avec les symboles «⊢» (affirmation de la vérité), «~» (non logique), et «V» (OU inclusif).

Construction contemporaine d'une théorie formelle[modifier | modifier le code]

La théorie formaliste suivante est présentée en contraste de la théorie logiciste du Principia Mathematica. Un système formel contemporain serait construit comme suit:

  1. Symboles utilisés: Cet ensemble est l'ensemble de départ, d'autres symboles peuvent être créés, mais seulement par la définition des symboles de départ. Un ensemble de départ pourrait être l'ensemble suivant dérivé de Kleene 1952: symboles logiques «→» (implique, SI-ALORS, «⊃»), «&» (et), «V» (ou), «¬» (non) , «∀» (pour tous), «∃» (il existe); symbole prédicat «=» (égal); symboles de fonction «+» (addition arithmétique), «∙» (multiplication arithmétique), « ' » (successeur); symbole individuel «0» (zéro); variables «a», «b», «c», etc .; et les parenthèses «(» et «)».[13]
  2. symbole de chaînes: La théorie va construire des «chaînes» des symboles par concaténation (juxtaposition).[14]
  3. règles de formation: La théorie spécifie les règles de syntaxe (règles de grammaire) comme une définition récursive qui commence par «0» et précise comment construire des »formules bien formées« (fbfs).[15] Cela comprend une règle de »substitution».[16]
  4. règle(s) de transformation: Axiomes qui spécifient les comportements des symboles et des séquences de symboles.
  5. Règle d'inférence, modus ponens: La règle qui permet à la théorie de «détacher» une «conclusion» à partir de «prémisses», et par la suite de se défaire des »prémisses» (symboles à gauche de la ligne │ ou au-dessus de la ligne si horizontale). Si ce n'est pas le cas, alors la substitution se traduirait par des chaînes plus longues et plus longues qui doivent être reportées. En effet, après l'application du modus ponens, il ne reste que la conclusion.

Les théories contemporaines spécifient souvent leur premier axiome le modus ponens ou la «règle de détachement»:

AA ⊃ B │ B

Le symbole «│» est habituellement représenté par une ligne horizontale, ici «⊃» signifie «implique». Les symboles A et B sont des variables; cette forme de notation est appelé un «schéma d'axiome». Ceci peut être lu d'une manière similaire à SI-ALORS mais avec une différence: la chaîne de symbole donné SI A et A implique B ALORS B pour ainsi retenir B pour une utilisation ultérieure). Mais les symboles n'ont pas «interprétation» (c.-à.-d., pas de «table de vérité», de «valeur de vérité» ou de «fonctions de vérité») et le modus ponens procède mécaniquement, par la grammaire seulement.

Construction[modifier | modifier le code]

La théorie des Principia Mathematica possède de nombreuses similitudes et différences avec les théories formelles modernes. Kleene a déclaré que «cette déduction des mathématiques de la logique a été présenté comme une axiomatique intuitive. Les axiomes étaient destinés à être accepté comme des hypothèses plausibles décrivant le monde».[17] En effet, contrairement à une théorie formaliste qui manipule les symboles selon des règle de syntaxes, Les Principia Mathematica ont introduit la notion de «valeurs de vérité», c.-à.-d., la vérité et la fausseté dans le sens réel, et l'«affirmation de la vérité» prend place dans les cinquième et sixième éléments de la structure de la théorie. (PM 1962:4–36):

  1. Variables
  2. Utilisation de lettres
  3. Les fonctions fondamentales des propositions : «La Fonction Contradictoire» est symbolisé par «~» et la «Fonction Disjontive» est symbolisé par «v» étant pris comme une implication primitive et logique, définie par p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df. (PM 1962:11), et le produit logique définie par p . q .=. ~(~p ∨ ~qDf. (PM 1962:12)
  4. Équivalence: Les équivalences logiques, non pas les équivalences arithmétiques: «≡» donne une démonstration de comment les symboles sont utilisés, à savoir, «Ainsi ' p ≡ q ' signifie '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'.» (PM 1962:7).» l'équivalence logique apparaît à nouveau comme une définition: p ≡ q .=. ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) (PM 1962:12),
    On peut noter l'apparition des parenthèses. Cette usage grammatical n'est pas spécifité et apparait régulièrement; les parenthèses joue un rôle important dans les chaînes de symbole, cependant, par exemple, la notation «(x)» pour la version actuelle «∀x».
  5. Valeurs de vérité: «La 'valeur de vérité' d'une proposition est vrai si c'est vrai, et est un mensonge si c'est faux» (cette phrase est de Frege) (PM 1962:7)
  6. Signe d'affirmation: «'⊦'. p peut être lu 'il est vrai que' ... ainsi '⊦: p .. q ' signifie 'il est vrai que p implique q ', tandis que '⊦. p .⊃⊦. q ' signifie ' p est vrai; par conséquent q est vrai'.» (PM 1962:92).
  7. Inférence: la version de Principia Mathematica du modus ponens. «[Si] '⊦. p' et '⊦ (p ⊃ q)» ont eu lieu, alors' ⊦. q'.» (PM 1962: 9).
  8. L'Utilisation des Points
  9. Définitions: Ceux-ci utilisent le signe «=» avec «Df» à la fin à droite.
  10. Résumé des déclarations précédentes: discussion brève des idées primitives «~ p» et «p ∨ q» et «⊦» préfixé à une proposition.
  11. Propositions primitives: Les axiomes ou postulats. Cela a été modifié de façon significative dans la seconde édition.
  12. Fonctions propositionnelles: La notion de «proposition» à été modifiée lors la seconde édition, incluant l'introduction des propositions «atomiques» lié par des signes logiques pour former des propositions «moléculaires», et l'utilisation de la substitution des propositions moléculaires en propositions atomiques ou moléculaires pour créer de nouvelles expressions.
  13. Le rang des valeurs et la variation total
  14. Affirmation ambiguë et la variable réelle: Cette section et les deux suivantes ont été modifiées ou abandonnées dans la 2ème édition. En particulier, la distinction entre les concepts définis dans les sections 15 Définition et la variable réelle et 16 Propositions de connexion réelles et variables apparentes ont été abandonnés dans la deuxième édition.
  15. Implication formelle et équivalence formelle
  16. Identité
  17. Classes et relations
  18. Diverses fonctions descriptives des relations
  19. Fonctions descriptives
  20. Classes d'unité

Idées primitives[modifier | modifier le code]

Cf.  PM 1962:90–94, première édition:

  • (1) Propositions élémentaires.
  • (2) Propositions élémentaires de fonctions.
  • (3) Affirmation: introduction des notions de «vérité» et de «fausseté».
  • (4) Affirmation d'une fonction propositionnelle.
  • (5) Négation: «Si p est une proposition, la proposition "non-p", ou "p est faux", sera représenté par "~ p" ».
  • (6) Disjonction: «Si p et q sont des propositions, la proposition "p ou q", c'est à dire, soit p est vrai, soit q est vrai, « et sera représenté par "p ∨ q" ».
  • (cf. section B).

Propositions primitives[modifier | modifier le code]

La première édition débute avec la définition du symbole «⊃».

✸1.01p ⊃ q .=. ~ p ∨ qDf.

✸1.1. Tout ce qui est impliqué par une proposition élémentaire vraie est vrai. Pp modus ponens

(✸1.11 a été abandonné dans la deuxième édition.)

✸1.2. ⊦: p ∨ p .. pPp principe de la tautologie

✸1.3. ⊦: q .. p ∨ qPp principe d'addition

✸1.4. ⊦: p ∨ q .. q ∨ pPp principe de permutation

✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .. q ∨ ( p ∨ r ). Pp principe associatif

✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .: p ∨ q .. p ∨ rPp principe de sommation

✸1.7. Si p est une proposition élémentaire, ~p est une proposition élémentaire. Pp

✸1.71. Si p et q sont des propositions élémentaires, p ∨ q est une proposition élémentaire. Pp

✸1.72. Si φp et ψp sont des fonctions élémentaires qui prennent les propositions élémentaires comme arguments, φp ∨ ψp est une proposition élémentaire. Pp

Avec l'«Introduction à la Seconde Édition», l'annexe A de la seconde édition a abandonné la section entière ✸9. Cela comprend six propositions primitives ✸9 à ✸9.15 avec les axiomes de réductibilité

La théorie révisée est rendue difficile par l'introduction de la barre de Sheffer («|») pour symboliser l'«incompatibilité» (c.-à-d., si les deux propositions élémentaires p et q sont vrais, leur «barre» p | q est fausse), le NON-ET logique contemporain. Dans la théorie révisée, l'introduction présente la notion de la «proposition atomique», une «donnée» qui «appartient à la partie philosophique de la logique». Ceux-ci n'ont pas de composant, et ne contiennent pas les notions «tout» ou «certains». Par exemple: «c'est rouge», ou «celui-la est plus récent que celui-ci». Les Principia Mathematica ont alors «évolué vers les propositions moléculaires» qui sont toutes liées par «la barre». Les définitions donnent des équivalences pour «~», «∨», «⊃», et «.».

La nouvelle introduction définit les «propositions élémentaires» comme des positions atomiques et moléculaires rassemblées. Il remplace alors toutes les propositions primitives de ✸1.2 à ✸1.72 avec une seule proposition en termes de barre:

«Si pqr sont des propositions élémentaires, soit p et p|(q|r), nous pouvons en déduire r. C'est une proposition primitive.»

La nouvelle introduction maintient la notation pour «il existe» (maintenant écrite «parfois vrai») et «pour tout» (écrit «toujours vrai»).[18] L'Annexe A a renforcé la notion de »matrice» et de «fonction prédicative» (une «idée primitive», PM 1962: 164) et présente quatre nouvelles propositions primitives comme les ✸8.1-✸8.13.

✸88. Axiome multiplicatif

✸120. Axiome de l'infinité

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. « Losqu'il ont remis les Principia mathematica pour publication, l'éditeur les a refusés, parce qu'il n'avait trouvé personne pour les comprendre. Russell et Whitehead les ont alors fait paraître à leurs frais[1]. »
  2. Dans la préface des Principles, Russell indique qu'il s'est assuré « la collaboration de M. A.N. Whitehead[3] » pour la deuxième édition de cet ouvrage. Cette collaboration prendra la forme des Principia Mathematica[3].
  3. Cette édition a été influencée par le Tractatus logico-philosophicus de Wittgenstein[10]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Alex Bellos, Alex et la Magie des Nombres, Robert Laffont, (ISBN 978-2-221-14517-3), « Le titr de ce chapitre comporte trois ereurs »
  2. a, b et c Jean-Luc Verley, « WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947) - 2) Le mathématicien », sur Encyclopædia universalis (consulté le 12 mars 2015)
  3. a et b Vernant 1993, L'Opus Magnum, p. 254
  4. Harrell, Martha, « Extension to Geometry of Principia Mathematica and Related Systems », Digital Commons (consulté le 1er juin 2012).
  5. Principia Mathematica, Preface du premier tome, p. 1.
  6. « Principia mathematica : to *56 », Catalogue Sudoc (consulté le 28 mai 2012).
  7. « Principia Mathematica to *56 », Google Books (consulté le 28 mai 2012).
  8. « Principia Mathematica to *56 », Cambridge University Press (consulté le 28 mai 2012).
  9. « Philosophy 701 -- Russell », Office of Information Technologies (consulté le 28 mai 2012).
  10. Shalom A., « De la langue comme image à la langue comme outil », Langages, no 2 « Logique et linguistique »,‎ , p. 96-107 (lire en ligne)
  11. (en) Irvine,A.D, « Principia Mathematica » (consulté le 14 octobre 2011)
  12. « The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century »,‎ (consulté le 14 octobre 2011).
  13. Cet ensemble est tiré de Kleene 1952:69 substituant → pour ⊃.
  14. Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
  15. Enderton 2001:16
  16. C'est le mot utilisé par Kleene 1952:78
  17. Citation de Kleene 1952:45.
  18. Cette idée vient du Tractatus de Wittgenstein, PM 1962:xiv–xv)

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Ouvrages[modifier | modifier le code]

Articles[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]