Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K (ou entre deux modules sur un anneau A) qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définies dans ces espaces vectoriels ou modules. De façon intuitive, une application linéaire « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est dite linéaire (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(x+y)=f(x)+f(y)$

et

$\forall \lambda \in K\quad \forall x\in E\quad f(\lambda x)=\lambda f(x)$.

Une application f possédant la première propriété est dite additive et, pour la seconde, homogène.

Caractérisations équivalentes :

L'application f est linéaire si et seulement si :

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad \forall \lambda ,\mu \in K\quad f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$

ou plus simplement :

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad \forall \mu \in K\quad f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y)$.

Autrement dit, f est linéaire si elle préserve les combinaisons linéaires, c'est-à-dire : pour toute famille finie (x_i)_{i ∈ I} de vecteurs et pour toute famille (λ_i)_{i ∈ I} de scalaires (c'est-à-dire d'éléments de K), $f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(x_{i})$.

Notations :

On note L(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F ; il peut aussi être noté L_K(E ; F) ou Hom_K(E, F), mais le corps K en indice est souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.

Cas particuliers :

• Un isomorphisme d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif. On note Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F ;
• Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée. On note L(E) l'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E ;
• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E) le groupe des automorphismes de E (appelé aussi le groupe linéaire de E) ;
• Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire. On note E* l'ensemble des formes linéaires sur E (appelé aussi espace dual de E).

Noyau et image

Si f est une application linéaire de E dans F, alors son noyau, noté Ker(f), et son image, notée Im(f), sont définis par :

$\operatorname {Ker} (f)=\{x\in E\mid f(x)=0\}=f^{-1}(\{0\})$ ;

$\operatorname {Im} (f)=\{f(x)\mid x\in E\}=f(E)$.

Ker provient de Kern, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.

L'ensemble Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E, et l'ensemble Im(f) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement,

• l'image réciproque par f d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
• l'image directe par f d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.

Pour toute famille génératrice (e_i)_{i ∈ I} de E, Im(f) est le sous-espace de F engendré par la famille (f(e_i))_{i ∈ I}.

L'espace vectoriel quotient F/Im(f) s'appelle le conoyau de f.

Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme du quotient E/Ker(f) sur l'image Im(f).

Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module », et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :

Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour E et F de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang :

$\dim(\operatorname {Ker} (f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(E)$.

La dimension de Im(f) est aussi appelée le rang de f et est notée rg(f).

Exemples

• L'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport k : x ↦ kx où k est un scalaire d'un corps commutatif.
• L'application dérivation h ↦ h', de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R.

Propriétés

• Soient E et F deux espaces vectoriels (resp. deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble L(E, F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de K.

Démonstration

Montrons que L(E, F) est un sous-espace vectoriel (resp. un sous-module) de l'espace vectoriel (resp. du module) des applications de E dans F sur le centre C de K. Il est non vide car contient l'application nulle. Si a et b sont deux applications linéaires, leur somme est encore linéaire. Enfin, si λ est un élément de C, l'application λa est aussi linéaire, car elle est évidemment additive et pour tout α ∈ K et tout x ∈ E,

$(\lambda a)(\alpha x)=\lambda \alpha a(x)=\alpha \lambda (a(x)=\alpha (\lambda a)(x)$.

• La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :$\forall f\in \operatorname {L} (E,F)\quad \forall g\in \operatorname {L} (F,G)\quad g\circ f\in \operatorname {L} (E,G)$.En particulier, ∘ est une loi de composition interne sur L(E).
• Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire f ∈ L(E, F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément : pour toute base B de E, toute application de B dans F se prolonge de façon unique en une application linéaire de E dans F. Tout choix d'une base B de E fournit donc une bijection $\operatorname {L} (E,F)\to F^{B},f\mapsto f_{|B}$.
• Si E est de dimension finie et si le corps K est commutatif, alors la dimension de L(E, F) est donnée par :$\dim(\operatorname {L} (E,F))=\dim(E)\times \dim(F)$.En particulier, si F est aussi de dimension finie, alors L(E, F) l'est également.
• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire f de E dans F se représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F. Cette représentation matricielle est commode pour calculer le noyau et l'image de f.

Références

• (en) Michael Artin, Algebra, 1991 (ISBN 0-13-004763-5).
• Nicolas Bourbaki, Algèbre : Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9).
• Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Springer, 2007 [détail des éditions].
• David C. Lay, Algèbre linéaire : Théorie, exercices & applications, De Boeck, 2004, 576 p. (ISBN 978-2-8041-4408-1, lire en ligne).

Voir aussi

• Opérateur borné entre espaces vectoriels normés
• Application multilinéaire