Image réciproque

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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : XY est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B :

Dans le cas particulier où B se réduit à un singleton, l'image réciproque du singleton par la fonction f est appelé ensemble des antécédents de y par f.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons l'application f : {1,2,3} → {a,b,c,d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f−1({a,b}) = {1}.

L'application « image réciproque »[modifier | modifier le code]

Avec cette définition, f−1 est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f−1, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f−1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane[1] parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f−1.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Pour toutes parties et de ,
.
.
  • Pour toute partie de ,
:(une démonstration est proposée dans l'article Image directe).
En particulier si est surjective alors .
On peut même prouver que et surjective si et seulement si pour toute partie de on a .
(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
  • Pour toute partie de ,
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si n'est pas injective.
On peut même prouver que et injective si et seulement si pour toute partie de on a .
  • Pour toutes parties et de ,
  • Pour toute famille non vide de parties de ,
  • Si l'on considère de plus une application , alors l'image réciproque d'une partie de par la composée est :

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]