Loi de composition interne

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E. Autrement dit, c'est une opération binaire[1] qui laisse E stable.

L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes.

Les lois de composition internes et externes servent à définir les structures algébriques, qui occupent une place privilégiée en algèbre générale.

Présentation[modifier | modifier le code]

Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d'opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une opération (interne) dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble.

Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :

  • la division n’est pas une loi de composition interne dans , parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un entier relatif.
  • la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
    • s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
    • si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble E, ou, plus simplement une loi dans E, est une opération qui donne un résultat dans E pour tous les couples possibles d'éléments de E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :

  • 0 est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5  , et   0 + 8 = 8   ;
  • pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi :   3 + (–3) = 0   ;
  • on peut échanger les deux éléments autour du signe «  » :   3 + 5 = 5 + 3 = 8   . On dit que l’opération est commutative ;
  • on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux manières :
    • en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au résultat,
    • ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9   .
Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)   . On dit que l’opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :

  • le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
  • le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
  • on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un groupe abélien. L'algèbre générale s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application du produit cartésien E × E dans E.

Un ensemble E muni d’une loi de composition interne constitue une structure algébrique appelée magma et notée « ( E, ) ».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :

  • les applications constantes : si c appartient à E : ∀ xE, ∀ yE,   x y   = c ;
  • l’application sélectionnant le terme de gauche : ∀ xE, ∀ yE,   x y   = x ;
  • l’application sélectionnant le terme de droite : ∀ xE, ∀ yE,   x y   = y.

Éléments particuliers[modifier | modifier le code]

Carrés et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un élément est dit carré si :  
En sens inverse, tout élément x   a un carré unique, noté habituellement « x 2  ».
Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.
Exemple : dans ℤ, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.
  • un élément est dit idempotent (d'ordre 2) ou projecteur si :  
En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
Exemples :
  • tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
  • dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

Neutres et dérivés[modifier | modifier le code]

Un élément est dit :

  • neutre à gauche si  ;
  • neutre à droite si  ;
  • neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
Exemple
Dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.

Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors la loi admet un unique élément neutre, et tout élément neutre à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsqu'il existe un élément neutre  :

  • un élément est dit involutif si .
    Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre ;
  • un élément est dit symétrique à gauche de l'élément si . L'élément est alors symétrique à droite de l'élément .

Absorbants et dérivés[modifier | modifier le code]

Un élément est dit :

  • absorbant à gauche si :  ;
  • absorbant à droite si :  ;
  • absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.
Exemple
Dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication, alors que l'addition ne présente pas d'élément absorbant.

Tout élément absorbant à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, alors la loi admet un unique élément absorbant, et tout élément absorbant à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsque la loi admet un élément absorbant , un élément est dit nilpotent (d'ordre 2) si .

Centre d'une structure[modifier | modifier le code]

Un élément est dit central si .

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont centraux.

On appelle centre de E, et on note Z(E), l’ensemble des éléments centraux de E.

Réguliers et dérivés[modifier | modifier le code]

Un élément est dit

  • régulier à gauche ou simplifiable à gauche si :
 ;
  • régulier à droite ou simplifiable à droite si :
 ;
  • régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche ;
  • diviseur de zéro à gauche s'il existe un élément absorbant (évidemment unique), différent de , et si :  ;
  • diviseur de zéro à droite s'il existe un élément absorbant , différent de , et si : .

Paires d'éléments[modifier | modifier le code]

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

  • deux éléments et seront dits permutables ou commutants si :  
  • deux éléments permutables et seront dits symétriques ou inversibles :
    • s’il existe un élément neutre ,
    • et si :    ;
  • deux éléments permutables et seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants :
    • s’il existe un élément absorbant ,
    • si aucun des deux éléments n’est égal à ,
    • et si :    ;
Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Certaines propriétés des lois de composition internes, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E, ) ; la loi peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables[modifier | modifier le code]

Une loi est dite

  • unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite ;
  • unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche ;
  • unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre (qui est alors unique).

Régularité et propriétés liées[modifier | modifier le code]

  • est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :
  • est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :
  • est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :
Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.

Associativité et propriétés analogues[modifier | modifier le code]

Un loi est dite :

  • associative si :
    .
    L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des relations binaires…) ;
  • alternative si :
    .
    Cette propriété est moins forte que l'associativité ;
  • associative des puissances si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : ).
    Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
    • la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement xn, est égale au résultat de la composition de x selon , (n – 1) fois avec lui-même ; ainsi, x1 = x, x2 = x x, x3 = x x xetc.
    • si de plus la loi présente un élément neutre e, on pose x0 = e
    • si en outre l'élément x est inversible (voir infra), on pose x–n = (xn)−1.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Une loi est dite

  • intègre si elle admet un élément absorbant et si aucun élément n’est diviseur de zéro ;
  • commutative si .

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

Une loi est distributive par rapport à une autre loi (par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) si elle est distributive à la fois :

  • à gauche :
  • à droite :

Remarque : si de plus est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi . Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps commutatif, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E, ) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre . Il est alors possible de définir les notions suivantes :

  • un élément est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si :
s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s ;
  • un élément est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si :
s' est alors appelé élément symétrique à droite de s ;
  • Tout élément inversible à gauche est régulier à gauche, et de même à droite. Si E est fini, la réciproque est vraie car toute injection de E dans E est alors surjective (voir les propriétés des bijections).
  • un élément est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux ;
s' est alors appelé élément symétrique de s.
  • la loi est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
  • la loi est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite ;
  • la loi est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles.

Si la loi est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « s -1  ».

Exemples :

  • 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels ;
  • 2 est symétrisable, de symétrique –2, pour l’addition dans les entiers relatifs ;
  • 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs ;
  • 2 est inversible, d’inverse 1/2, pour le produit dans les rationnels.

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.

Nombre de lois de composition internes sur un ensemble à n éléments[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble à n éléments.

Le nombre de lois de composition internes sur E est le nombre d'applications de E×E dans E, soit

On peut compter de même combien, parmi elles, sont commutatives. Une loi commutative sur E est entièrement déterminée par sa valeur x✲y=y✲x pour les paires {x,y} et sa valeur x✲x pour les singletons {x}. Le nombre de ces paires et singletons étant

il y a donc

lois commutatives sur E.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Algèbre universelle

Note[modifier | modifier le code]

  1. Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise « binary operation », utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « opération » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.

Références[modifier | modifier le code]