Colinéarité

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En algèbre linéaire, deux vecteurs u et v d'un espace vectoriel E sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que u = kv ou v = ku. Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Quand elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs u et v sont colinéaires si le couple (u,v) est non libre.

Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points (A,B) du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique  ; si A et B (resp A' et B') sont des points non confondus, les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

Exemples[modifier | modifier le code]

En toute dimension, si u est le vecteur nul, alors u et v sont colinéaires pour tout v dans E, car u = 0v.

Si u est un vecteur non nul de E, l'ensemble des vecteurs colinéaires à u est la droite Ku.

Dans un espace vectoriel sur le corps F2, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils sont égaux.

Géométrie affine[modifier | modifier le code]

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

et

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

  • L'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
  • Le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires

Relation d'équivalence[modifier | modifier le code]

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

  • réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
  • symétrique : Si un vecteur est colinéaire à un vecteur alors est colinéaire à
  • transitive :Si un vecteur est colinéaire à et si est colinéaire à alors est colinéaire à

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Calcul en coordonnées[modifier | modifier le code]

Soient deux vecteurs u et v dans le plan R2, dont les coordonnées sont u = (u1, u2) et v = (v1, v2). S'ils sont tous deux non nuls, la colinéarité des deux vecteurs u et v se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples (u1, u2) et (v1, v2). La règle du produit en croix implique : u et v sont colinéaires si et seulement si u1v2 = u2v1.

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soient u et v deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée sont

Alors u et v sont colinéaires si et seulement si uivj = ujvi pour tout indice i et tout indice j > i.

En phylogénie[modifier | modifier le code]

En biologie, on parle de colinéarité lors de l'étude du génome d'organisme et d'établissement d'arbres phylogénétiques. La notion de colinéarité correspond en quelque sorte à la synténie, c'est-à-dire au maintien de l'ordre des gènes entre deux génomes.