Décomposition de Frobenius

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On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Polynôme conducteur[modifier | modifier le code]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble

est un idéal non nul de K[X] ; il est donc engendré par un unique polynôme normalisé appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.

Sous-espace cyclique[modifier | modifier le code]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble

est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.

Soit , on a si et seulement si . Ainsi le polynôme conducteur est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx.

La dimension de Sx est égale au degré du polynôme .

Vecteurs u-maximums[modifier | modifier le code]

Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur divise le polynôme minimal de u. On dira que x est u-maximum lorsque . La décomposition de Frobenius s'appuie sur les deux résultats suivants (démontrés sur Wikiversité) :

  • tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum ;
  • pour tout vecteur u-maximum x, Sx admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Décomposition de Frobenius[modifier | modifier le code]

Il existe une suite de vecteurs de E telle que

Les polynômes ne dépendent pas du choix des vecteurs , ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal est et le polynôme caractéristique est .

Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par u sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique[modifier | modifier le code]

On dit que u est un endomorphisme cyclique s'il existe un élément x de E tel que Sx = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si :

  • le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E ;
  • le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près) ;
  • un endomorphisme commute avec u (si et) seulement si c'est un polynôme en u ;
  • il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.

Applications[modifier | modifier le code]

  • La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.
  • Elle fournit un système complet d'invariants de similitude d'une matrice carrée, ce qui permet de démontrer élégamment que :
    • toute matrice carrée est semblable à sa transposée (on le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit) ;
    • si deux matrices carrées à coefficients dans un corps K sont semblables via une matrice inversible à coefficients dans une extension de K, alors elle le sont aussi via une matrice inversible à coefficients dans K.

Référence[modifier | modifier le code]

J. Fresnel, Algèbre des matrices, Hermann, 1997, § A 4.1, p. 139-141

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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