Lemme des noyaux

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En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Lemme des noyaux[1] — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

De plus, la projection de la somme directe sur Vi parallèlement à est la restriction de Qi(f) pour un polynôme Qi.

Applications[modifier | modifier le code]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et la factorisation de P avec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices telles que

(en fait la partie de B correspondant au bloc est une base de ), et .

Note[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir ce cours sur Wikiversité.