Lemme des noyaux

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En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Lemme des noyaux — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

De plus, la projection de la somme directe sur Vi parallèlement à est la restriction de Qi(f) pour un polynôme Qi.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Réduction au cas n = 2[modifier | modifier le code]

On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui est Q(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose alors et Q est premier avec Pn (car d'après le théorème de Bachet-Bézout pour les polynômes, chacun des facteurs Pi de Q est inversible modulo Pn, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que , avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f ; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer ker Q(f) comme somme directe des ker Pi(f) pour i = 1, … , n – 1, et les projections de ker Q(f) sur ces facteurs se composent avec celle sur ker Q(f) pour donner des projections requises .

Le cas n = 2[modifier | modifier le code]

On voit sans problème que l'espace contient les espaces pour , et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V1 + V2 est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en f). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe tel que , et par conséquent (l'application identité de ). Notons

,

donc et .

Pour voir que la somme V1 + V2 est directe, on considère . On a , et la somme est directe.

Pour voir que V1 + V2 = V, on considère . On a avec car

et l'on a pour des raisons similaires. On conclut que et donc V = V1 + V2.

Finalement, les projections de sur les facteurs sont π1 et π2 : on a déjà vu que l'image de πi est contenue dans Vi, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que πi est l'identité sur Vi. Pour on a donc c'est vérifié.

Applications[modifier | modifier le code]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et la factorisation de P avec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices telles que

(en fait la partie de B correspondant au bloc est une base de ), et .