Lemme des noyaux

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En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Lemme des noyaux — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si P_1,\ldots,P_n \in K[X] (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels V_i=\ker(P_i(f)) (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].

De plus, la projection de la somme directe sur Vi parallèlement à \bigoplus_{j\neq i} V_j est la restriction de Qi(f) pour un polynôme Qi.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Réduction au cas n = 2[modifier | modifier le code]

On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui est Q(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose Q=P_1P_2\cdots P_{n-1} alors \textstyle\prod_{i=1}^n P_i=QP_n et Q est premier avec Pn (car d'après le théorème de Bachet-Bézout pour les polynômes, chacun des facteurs Pi de Q est inversible modulo Pn, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que \ker (QP_n)(f)=\ker Q(f) \oplus \ker P_n(f), avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f ; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer ker Q(f) comme somme directe des ker Pi(f) pour i = 1, … , n – 1, et les projections de ker Q(f) sur ces facteurs se composent avec celle sur ker Q(f) pour donner des projections requises \ker (QP_n)(f)\to\ker P_i(f).

Le cas n = 2[modifier | modifier le code]

On voit sans problème que l'espace V=\ker(P_1P_2)(f) contient les espaces V_i=\ker P_i(f)\, pour i=1,2, et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V1 + V2 est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en f). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe Q_1,Q_2 \in K[X] tel que  P_1 Q_1 + P_2 Q_2=1, et par conséquent (P_1Q_1+P_2Q_2)(f)=\mathrm{id}_E (l'application identité de E). Notons

\pi_i=(P_jQ_j)(f)\mid_V\,\in\mathrm{End}(V)\qquad \mathrm{o\grave{u} }~\{i,j\}=\{1,2\},

donc \pi_1+\pi_2=\mathrm{id}_V\, et \pi_1(V_2)=\pi_2(V_1)=\{0\}\,.

Pour voir que la somme V1 + V2 est directe, on considère x \in V_1 \cap V_2. On a x=\pi_1(x)+\pi_2(x)=0\,, et la somme est directe.

Pour voir que V1 + V2 = V, on considère x \in V. On a x=\pi_1(x)+\pi_2(x)\, avec \pi_1(x)\in V_1 car

P_1(f)(\pi_1(x))=(P_1P_2Q_2)(f)(x)=(Q_2P_1P_2)(f)(x)=Q_2(f)(0)=0,

et l'on a \pi_2(x)\in V_2 pour des raisons similaires. On conclut que v\in V_1+V_2 et donc V = V1 + V2.

Finalement, les projections de V=V_1\oplus V_2 sur les facteurs sont π1 et π2 : on a déjà vu que l'image de πi est contenue dans Vi, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que πi est l'identité sur Vi. Pour x\in V_i on a x=\pi_1(x)+\pi_2(x)=\pi_i(x), donc c'est vérifié.

Applications[modifier | modifier le code]

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et P\in K[X] un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et \prod_{i=1}^n P_i^{m_i} la factorisation de P avec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices A_i \in \mathbf{M}_{n_i}(K) telles que

\mathrm{Mat}_B(f)=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & A_n \end{pmatrix};

n_i=\dim \ker P_i^{m_i}(f) (en fait la partie de B correspondant au bloc A_i est une base de \ker P_i^{m_i}(f)), et P_i^{m_i}(A_i)=0.