Ensemble infini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Plus précisément un ensemble E est infini si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0,1, … , n - 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.

Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini. On montre que l'ensemble N des entiers naturels est infini au sens de cette définition (voir l'article ensemble fini), et donc tout ensemble dénombrable est infini. On en déduit que tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.

Définitions[modifier | modifier le code]

En théorie des ensemble, l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble des entiers naturels[1], qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

On montre, en utilisant l'axiome du choix dénombrable, que tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable. Dedekind avait proposé (dans son mémoire (de) Was sind und was sollen die Zahlen ?, ce que sont les nombres et à quoi servent-ils ?) une autre définition d'ensemble infini : un ensemble E est infini s'il est équipotent à une de ses parties propres. Un ensemble dénombrable, et donc tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini au sens de Dedekind. Réciproquement tout ensemble infini au sens de Dedekind contient un ensemble dénombrable. Il est donc infini au sens ci-dessus, et les définitions sont équivalentes en présence de l'axiome du choix dénombrable. Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel (sans axiome du choix), on ne peut exclure l'existence d'ensemble infinis qui ne le sont pas au sens de Dedekind. L'existence de tels ensembles, prise comme axiome, est malgré tout plus faible que l'axiome du choix dénombrable. Pour plus de détails, voir l'article Ensemble infini au sens de Dedekind (en).

Arithmétique cardinale et axiome du choix[modifier | modifier le code]

En présence de l'axiome du choix l'arithmétique des cardinaux infinis se simplifie notablement. En particulier :

  • la réunion disjointe de deux ensembles dont l'un est infini est équipotente à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est infini :
λ + μ = sup(λ,μ) ;
  • le produit cartésien de deux ensembles dont l'un est infini et l'autre non vide est équipotent à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est non nul et l'autre infini :
λ • μ = sup(λ,μ) ;
en particulier tout ensemble infini est équipotent à son produit cartésien, c'est-à-dire que si λ est infini :
λ2 = λ.

Ce dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le théorème de Cantor-Bernstein. Il suffit de remarquer que, si λ ≥ μ, λ + μ (réunion disjointe) s'injecte dans λ•2, et λ • μ s'injecte dans λ • λ.

Pour le démontrer[2], on identifie le cardinal infini λ à un ordinal initial infini. En effet tout ensemble, est bien ordonnable par l'axiome du choix, donc équipotent à un ordinal. Un ordinal initial est un ordinal qui ne s'injecte dans aucun ordinal strictement inférieur. On peut parler du plus petit cardinal d'une classe non vide de cardinaux, puisque la classe des cardinaux devient une sous-classe de celle des ordinaux.

Clairement λ s'injecte dans λ2. Supposons qu'il existe un cardinal infini λ tel que λ ≠ λ2, et appelons dorénavant λ le plus petit d'entre eux. L'ordre ≤2 défini sur λ × λ par

(α,β) ≤2 (α',β') ssi sup(α,β) < sup(α',β') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α < α') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α = α' et β ≤ β'

est un bon ordre.

Ce bon ordre est isomorphe par f à un ordinal γ, avec γ ≥ card(γ) > λ par hypothèse sur λ. Comme λ < γ, λ possède un antécédent (α,β) par la bijection f. Comme card(α) ≤ α < λ et card(β) ≤ β < λ, en posant δ = sup(α,β) on a δ < λ, donc card(δ) < λ : cette dernière inégalité est bien une inégalité entre cardinaux, car λ est un ordinal initial. Par choix de l'ordre ≤2 {(ζ,η) | (ζ,η) <2 (α,β)} ⊆ (α +1) × (β + 1), donc f − 1 restreinte à λ définit une injection de λ dans (δ+1)2. Comme λ est infini, (δ+1)2 aussi, donc δ + 1 et donc δ également. Donc card(δ+1)=card(δ).

Comme card(δ) < λ, card(δ) ≠ card(δ)2, ce qui contredit la minimalité de λ. On a bien λ = λ2 pour tout cardinal infini λ.

Il s'avère que l'équipotence de tout ensemble infini avec son carré cartésien est même équivalente à l'axiome du choix, comme l'a montré Alfred Tarski (voir Ordinal de Hartogs, paragraphe sur le produit cardinal).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il est possible de représenter les entiers en théorie des ensembles, par les ordinaux finis ; α est un ordinal fini si tout ordinal non nul inférieur ou égal à α possède un prédécesseur. L'entier n est alors l'ordinal fini { 0,1, … , n - 1 }, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est équipotent à un entier. Ces définitions ne nécessitent pas l'axiome de l'infini, qui énoncé essentiellement l'existence de l'ensemble des entiers naturels, cf. Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38. Il est également possible de donner une définition équivalente d'ensemble fini qui ne fait pas référence aux entiers, comme celle de Russell et Whitehead ou celle de Tarski, voir Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead ou Roland Fraïssé, Logique mathématique, Vol. I, Gauthier-Villars Paris 1971, pp. 12-13-14.
  2. Pour des démonstrations analogues voir Krivine 2007, p. 38, ou Cori-Lascar 93, chap. 7. Pour une autre méthode, reposant sur le lemme de Zorn, voir J. L. Krivine, « Logique et théorie axiomatiques » [PDF],‎ .

Bibliographie[modifier | modifier le code]