Ensemble infini

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En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini.

Tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.

Définitions[modifier | modifier le code]

Un ensemble E est dit infini (au sens usuel) si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0, 1, … , n – 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.

Dans la théorie de Zermelo (Z), l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble ℕ des entiers naturels[1], qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC, on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

Un ensemble est dit infini au sens de Dedekind[2] s'il est équipotent à une de ses parties propres.

Un ensemble est infini au sens de Dedekind si et seulement s'il contient un ensemble dénombrable[3],[4].

Dans la théorie Z, tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini (au sens usuel). Dans ZF (sans axiome du choix), la réciproque n'est pas démontrable. Elle le devient par un axiome plus faible que l'axiome du choix dénombrable :

Pour plus de détails, voir l'article Ensemble infini au sens de Dedekind (en).

Arithmétique cardinale et axiome du choix[modifier | modifier le code]

En présence de l'axiome du choix, l'arithmétique des cardinaux infinis se simplifie notablement. En particulier :

  • la réunion disjointe de deux ensembles dont l'un est infini est équipotente à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est infini :
λ + μ = sup(λ,μ) ;
  • le produit cartésien de deux ensembles dont l'un est infini et l'autre non vide est équipotent à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est non nul et l'autre infini :
λ • μ = sup(λ,μ) ;
en particulier tout ensemble infini est équipotent à son produit cartésien, c'est-à-dire que si λ est infini :
λ2 = λ.

Ce dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le théorème de Cantor-Bernstein. Il suffit de remarquer que, si λ ≥ μ, λ + μ (réunion disjointe) s'injecte dans λ•2, et λ • μ s'injecte dans λ • λ.

Pour le démontrer[6], on identifie le cardinal infini λ à un ordinal initial infini. En effet tout ensemble, est bien ordonnable par l'axiome du choix, donc équipotent à un ordinal. Un ordinal initial est un ordinal qui ne s'injecte dans aucun ordinal strictement inférieur. On peut parler du plus petit cardinal d'une classe non vide de cardinaux, puisque la classe des cardinaux devient une sous-classe de celle des ordinaux.

Clairement λ s'injecte dans λ2. Supposons qu'il existe un cardinal infini λ tel que λ ≠ λ2, et appelons dorénavant λ le plus petit d'entre eux. L'ordre ≤2 défini sur λ × λ par

(α,β) ≤2 (α',β') ssi sup(α,β) < sup(α',β') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α < α') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α = α' et β ≤ β'

est un bon ordre.

Ce bon ordre est isomorphe par f à un ordinal γ, avec γ ≥ card(γ) > λ par hypothèse sur λ. Comme λ < γ, λ possède un antécédent (α,β) par la bijection f. Comme card(α) ≤ α < λ et card(β) ≤ β < λ, en posant δ = sup(α,β) on a δ < λ, donc card(δ) < λ : cette dernière inégalité est bien une inégalité entre cardinaux, car λ est un ordinal initial. Par choix de l'ordre ≤2 {(ζ,η) | (ζ,η) <2 (α,β)} ⊆ (α +1) × (β + 1), donc f − 1 restreinte à λ définit une injection de λ dans (δ+1)2. Comme λ est infini, (δ+1)2 aussi, donc δ + 1 et donc δ également. Donc card(δ + 1) = card(δ).

Comme card(δ) < λ, card(δ) ≠ card(δ)2, ce qui contredit la minimalité de λ. On a bien λ = λ2 pour tout cardinal infini λ.

Il s'avère que l'équipotence de tout ensemble infini avec son carré cartésien est même équivalente à l'axiome du choix, comme l'a montré Alfred Tarski (voir Ordinal de Hartogs, paragraphe sur le produit cardinal).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il est possible de représenter les entiers en théorie des ensembles, par les ordinaux finis ; α est un ordinal fini si tout ordinal non nul inférieur ou égal à α possède un prédécesseur. L'entier n est alors l'ordinal fini { 0, 1, … , n - 1 }, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est équipotent à un entier. Ces définitions ne nécessitent pas l'axiome de l'infini, qui énonce essentiellement l'existence de l'ensemble des entiers naturels, cf. Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F., Paris, 1972, p. 38. Il est également possible de donner une définition équivalente d'ensemble fini qui ne fait pas référence aux entiers, comme celle de Russell et Whitehead ou celle de Tarski, voir Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead ou Roland Fraïssé, Logique mathématique, vol. I, Gauthier-Villars, Paris, 1971, p. 12-14.
  2. (de) Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ? [Que sont et que représentent les nombres ?], 1888.
  3. (en) Patrick Suppes (en), Axiomatic Set Theory, Van Nostrand, (1re éd. 1960), 267 p. (lire en ligne), p. 152-153.
  4. Plus précisément : l'existence d'un ensemble E infini au sens de Dedekind implique simultanément l'axiome de l'infini et l'existence d'une injection de ℕ dans E.
  5. (en) Horst Herrlich (de), Axiom of Choice, Springer, (lire en ligne), chap. 4, p. 48.
  6. Pour des démonstrations analogues voir Krivine 2007, p. 38, ou Cori-Lascar 93, chap. 7. Pour une autre méthode, reposant sur le lemme de Zorn, voir J. L. Krivine, « Logique et théorie axiomatiques » [PDF],‎ .

Bibliographie[modifier | modifier le code]