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Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.
Inversibilité
On considère une matrice V de Vandermonde carrée (). Elle est inversible si et seulement si les sont deux à deux distincts.
Démonstration
Si deux coefficients sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.
Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.
Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogèneVX = 0 pour X de composantes x0, …, xn-1 :
En introduisant le polynôme
,
on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.
Déterminant
Le déterminant d'une matrice de Vandermonde ( dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[1] :
Le déterminant de la matrice est un polynôme en . De plus, ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres sont égaux (puisqu'il y a alors deux lignes identiques). Par suite, ce déterminant est égal à
où
et où est lui-même un polynôme.
Cependant, le polynôme est homogène, de degré 0+1+…+(n-1) = n(n-1)/2. Puisqu'il en est de même de , le polynôme est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de et de , le coefficient du monôme a la même valeur non nulle (égale à 1).
Applications
La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.