Interpolation lagrangienne

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En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph-Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783. C'est un cas particulier du théorème des restes chinois.

Définition[modifier | modifier le code]

Cette image montre, pour 4 points ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), l'interpolation polynomiale L(x) (de degré 3), qui est la somme des polynômes de base y0.l0(x), y1.l1(x), y2.l2(x) et y3.l3(x). Le polynôme d'interpolation passe par les 4 points de contrôle, et chaque polynôme de base passe par son point de contrôle respectif et vaut 0 pour les x correspondant aux autres points de contrôle.

On se donne n+1 points (avec les xi distincts deux à deux). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui aux abscisses xi prend les valeurs yi, ce que la méthode suivante permet de réaliser.

L'étude suivante propose de montrer que le polynôme est le seul polynôme de degré au plus n à satisfaire cette propriété [1].

Polynômes de Lagrange[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :

On a en particulier deux propriétés :

  1. li est de degré n pour tout i
  2. c'est-à-dire et pour

Polynôme d'interpolation[modifier | modifier le code]

Le polynôme défini par est l'unique polynôme de degré au plus n vérifiant pour tout i.

En effet :

  • d'une part  ;
  • d'autre part, étant combinaison linéaire de polynômes de degré n, L est de degré au plus n ; si un autre polynôme Q vérifie ces propriétés, alors L-Q est de degré au plus n et il s'annule en n+1 points distincts (les xk) : L-Q est donc nul, ce qui prouve l'unicité.

Exemple[modifier | modifier le code]

Pour les points , on calcule d'abord les polynômes de Lagrange :

Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points

Autre écriture[modifier | modifier le code]

Posons le polynôme . On voit immédiatement qu'il vérifie N(xi)=0 et, en utilisant la formule de Leibniz, sa dérivée vaut :

.

En particulier, en chaque nœud xk, tous les produits s'annulent sauf un, ce qui donne la simplification :

.

Ainsi, les polynômes de Lagrange peuvent être définis à partir de N :

On peut utiliser N pour traduire l'unicité : si Q vérifie pour tout i alors Q-L s'annule aux points xi donc est un multiple de N. Il est donc de la forme P est un polynôme quelconque. On a ainsi l'ensemble des polynômes interpolateurs liés aux points (xi,yi), et L est celui de degré minimal.

Base de polynômes[modifier | modifier le code]

On se donne n+1 scalaires distincts . Pour tout polynôme P appartenant à , si on pose , P est le polynôme d'interpolation correspondant aux points : il est égal au polynôme L défini ci-dessus.

On a donc donc forme une famille génératrice de . Comme son cardinal (égal à n+1) est égal à la dimension de l'espace, elle en est une base.

Exemples : en choisissant P=1 ou P=X on a

En fait c'est la base dont la base duale est la famille des n+1formes linéaires de Dirac définies par

si l'on considère le produit scalaire :

la famille forme une base orthogonale de

Applications[modifier | modifier le code]

Idée principale[modifier | modifier le code]

Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde[2]. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération instantanée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]