Écoulement incompressible

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Un fluide est dit en écoulement incompressible si sa masse volumique peut être considéré comme constante au cours du mouvement, ce qui se traduit par une dérivée particulaire du champ scalaire de masse volumique négligeable (description eulérienne). Dans la pratique, un écoulement est dit incompressible quand il se produit à un nombre de Mach suffisamment faible (inférieur à 0,3, en première approximation)[1].

Traduction mathématique[modifier | modifier le code]

Si l'on note la masse volumique en un point à un instant et si l'on considère l'écoulement incompressible alors :

,

est la dérivée particulaire de la masse volumique.

On peut caractériser un tel écoulement par la relation suivante :

,

est la vitesse d'une particule fluide en un point M à un instant t.


Cas des liquides[modifier | modifier le code]

Cavitation d'une hélice.

Les liquides (comme l'eau, par exemple) sont légèrement compressibles (tout comme les métaux qui doivent à leur compressibilité leurs qualités d'élasticité). Mais lors de leur écoulement, on pourra souvent considérer les liquides comme incompressibles. Par contre, ils ne sont pas extensibles et leur mise en dépression (cette mise en dépression étant tout à fait normale dans un écoulement) conduira, si elle dépasse un certain seuil (la Pression de vapeur saturante), à la transformation locale de l'eau en vapeur d'eau, phénomène appelé cavitation (ce mot signifiant formation de cavités emplies de vapeur d'eau). La cavitation modifie énormément l'écoulement de l'eau sur les hélices, par exemple, et peut amener à l'érosion rapide de leur surface (indépendamment du bruit qu'elle crée).


Cas des gaz[modifier | modifier le code]

Le sous-marin américain Albacore dans la soufflerie 30 × 60 pieds de Langley.

Bien que les gaz soient évidemment compressibles[2], l'hypothèse de fluide incompressible peut être également utilisée pour leurs écoulements, à condition que le nombre de Mach soit faible. S'il est inférieur à 0,3 Mach, le changement de densité dû à la vélocité est d'environ 5 %[1].

L'incompressibilité de l'air à Nombre de Mach suffisamment faible explique que l'on puisse tester, par exemple, des sous-marins dans une soufflerie à air, puisque, à ces bas Nombres de Mach, l'air présente une compressibilité analogue à celle de l'eau.

Premiers effets de la compressibilité sur le Cx de la sphère

On peut illustrer les problèmes que pose la compressibilité des gaz par le graphe ci-contre[3] . Pour les Mach dits incompressibles (jusqu'à 0,3 Mach inclus), les courbes jaune, fuchsia et rouge sont presque confondues : Elles dessinent ensemble la courbe classique de la crise de traînée de la sphère en fonction de son Reynolds. Mais lorsque, pour un petit diamètre de sphère (par exemple 2,5 mm), on augmente légèrement la vitesse de l'écoulement (afin d'augmenter le Reynolds), on augmente bien celui-ci, mais surtout le Cx croît vertigineusement (courbes bleues pour ce diamètre et d'autres diamètres) parce que les sphères se sont (pourtant très peu) approchées du mur du son. Si l'on désire balayer une plage de Reynolds suffisamment large, on est donc contraint, pour rester en écoulement dit incompressible, d'augmenter le diamètre de la sphère (et donc de la soufflerie, ce qui n'est pas toujours possible).


Lien avec la compressibilité[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Anderson, J.D., Fundamentals of Aerodynamics, McGraw–Hill, , 4e éd.
  2. Si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe à vélo et que l'on pousse sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air contenu à l'intérieur. En revanche si l'on faisait la même expérience avec de l'eau à l'intérieur, on ne pourrait quasiment pas déplacer la pompe : c'est parce que la compressibilité de l'eau (et de tous les liquides) est très faible. Pour le démontrer, on peut par exemple utiliser une seringue sans aiguille, la remplir d'eau et boucher l'ouverture avec le pouce : on ne peut pas faire avancer le piston.
  3. SPHERE DRAG AT MACH NUMBERS FROM 0.3 TO 2.0 AT REYNOLDS NUMBERS APPROACHING 107, by Donald G. MILLER and Allan B. BAILEY, J. Fluid Mech. (1979), vol. 93, part 3, pp. 449-464 [1]

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]