Équations de Barré de Saint-Venant

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Cinq gouttes tombent successivement dans l'angle d'un récipient à section carrée. En se propageant les ondes de gravité créées se réfléchissent sur les parois et interfèrent.
Propagation d'une onde de gravité sur un banc de sable sous marin de forme elliptique.

Les écoulements quasi-unidimensionnels, par exemple ceux des cours d'eau, sont décrits par les équations de Barré de Saint-Venant obtenues par Adhémar Barré de Saint-Venant en 1871[1] et précisées en 1888[2],[3].

Par extension cette appellation a été étendue aux écoulements en eau peu profonde (en anglais shallow water) qui correspondent à des problèmes quasi-bidimensionnels. On les rencontre en géophysique par exemple pour décrire les courants de marée. À ces phénomènes sont associées des ondes (onde de Rossby, onde de Kelvin, onde de Poincaré, mascaret, tsunami) dont l'étude de certaines d'entre elles est antérieure à 1850[4].

Ces écoulements sont représentatifs de milieux non dispersifs. Dans le cas contraire le milieu est décrit par les équations de Boussinesq.

Écoulements en eau peu profonde[modifier | modifier le code]

Schéma pour le système d'écoulement en eau peu profonde.

On désigne par s ( x, y ) l'altitude de la surface par rapport au géoïde, par b ( x, y ) la surface solide, par H = s - b la hauteur de fluide et g la pesanteur comptée négativement vers le bas.

Les équations des écoulements en eau peu profonde où l'on suppose la composante verticale w de la vitesse petite devant les composantes horizontales et celles-ci indépendantes de z s'écrivent

La pression est déduite de l'équilibre hydrostatique en chaque axe vertical.

Elles se généralisent aisément dans le cas où l'on souhaite prendre en compte la force de Coriolis[5] et plus difficilement si l'on souhaite prendre en compte les effets visqueux[6].

Ce système est hyperbolique et, comme tel, admet des ondes caractéristiques nommées ondes de gravité. Celles-ci ont une vitesse que l'on déduit des valeurs propres

Une simple analyse dimensionnelle suffit à confirmer cette valeur.

On peut obtenir une description de ces ondes en écrivant l'équation de conservation de la masse multipliée par g½ et les équations de conservation linéarisées et multipliées par H½. On suppose que la direction de propagation est x

Par substitution on obtient une équation d'onde

Cette équation décrit une onde de marée (en anglais tidal wave).

Génération et propagation d'une onde comme celle d'un tsunami. La courbe en bleu pour un milieu profond conduit à la formation d'un soliton. La courbe rouge est une onde non dispersive qui forme un front raide pouvant se décomposer en un paquet d'ondes de plus faibles longueur d'ondes. Pour celle-ci la profondeur d'eau dans le calcul est de 100 m.

Équations de Saint-Venant[modifier | modifier le code]

Ces équations ont été décrites de manière heuristique et publiées par Saint-Venant en 1871. Elles décrivent l'écoulement quasi-unidimensionnel dans un canal ou un cours d'eau de largeur l ( x ). L'aire de la section droite de l'écoulement est A ( x, t ) et la vitesse moyenne de l'écoulement est U ( x, t ). La hauteur d'eau est h ( y, t ), compté à partir du fond z = 0. L'équation de conservation de la masse s'écrit

L'équation de quantité de mouvement longitudinale s'écrit

τx ( x, t ) est le cisaillement appliqué au périmètre mouillé P ( x, t ).

L'équation en z est donnée par l'équilibre hydrostatique

Ces équations peuvent être obtenues à partir des équations de Navier-Stokes.

On peut prendre en compte la pente α du terrain en remplaçant la gravité par sa composante en z et en introduisant la composante du poids en x

Évaluation du cisaillement[modifier | modifier le code]

Cette évaluation se fait généralement en introduisant un coefficient de frottement Cf pour la couche limite sur le périmètre mouillé

Ce coefficient représente la part du flux de quantité de mouvement transféré à la paroi. Sa forme résulte des lois de similitude[7] : lois de Chézy ou de Manning-Strickler

Le coefficient K résulte de l'expérience.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, « Théorie du mouvement non permanent des eaux, avec application aux crues des rivières et a l’introduction de marées dans leurs lits », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 73,‎ , p. 147–154 et 237–240
  2. M. de Saint-Venant, « Mémoire sur la prise en considération de la force centrifuge dans le calcul du mouvement des eaux courantes et sur la distinction des torrents et des rivières », Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France, vol. 44,‎ , p. 245-273 (lire en ligne)
  3. M. de Saint-Venant, « Mémoire sur la perte de force vive d'un fluide aux endroits où sa section d'écoulement augmente brusquement ou rapidement », Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France, vol. 44,‎ , p. 193-243 (lire en ligne)
  4. (en) Alex D. D. Craik, « The Origins of water Wave Theory », Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 36,‎ , p. 1-28 (lire en ligne)
  5. (en) David A. Randall, « The Shallow Water Equations »
  6. a et b (en) Clint Dawson et Christopher M. Mirabito, « The Shallow Water Equations »,
  7. Christophe Ancey, Mécanique des fluides : Chapitre 2 : similitude (lire en ligne)

Ouvrages[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]