Cercle de Lemoine

En géométrie du triangle, les cercles de Lemoine sont des cercles définis par rapport à un triangle, portant le nom d'Émile Lemoine, qui sont des cas particuliers de cercles de Tucker^[1]. Les deux premiers ont été étudiés par Lemoine lui-même, et le troisième a été découvert par Jean-Luc Ehrmann en 2011^[2].

Premier cercle de Lemoine[modifier | modifier le code]

Le premier cercle de Lemoine, ou triplicate ratio circle par Tucker, est le cercle formé par les intersections des parallèles aux côtés d'un triangle menées par le point de Lemoine et les côtés du triangle de référence, qui sont cocycliques.

Le centre du cercle est le milieu du diamètre de Brocard [OL] où O est le centre du cercle circonscrit. Ce point a pour nombre de Kimberling X₁₈₂ . Le premier cercle de Lemoine est donc concentrique avec le cercle de Brocard.

Le rayon du premier cercle de Lemoine, avec les longueurs $a = BC$ , $b = AC$ et $c = AB$ , $R$ le rayon du cercle circonscrit à ABC, et $ω$ l'angle de Brocard du triangle de référence vaut :

R_{L}={\frac {1}{2}}R\sec(\omega )={\frac {abc{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2}){\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}}}.

Les droites (RQ), (ST) et (PU) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle. Les segments sont de même longueur et leurs milieux A’, B’ et C’ situés sur les symédianes forment un triangle A’B’C’ homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

L'hexagone PQRSTU est un hexagone de Lemoine.

Deuxième cercle de Lemoine[modifier | modifier le code]

Le deuxième cercle de Lemoine est formé par les intersections des antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point de Lemoine L, avec les côtés du triangle ABC, qui sont donc cocycliques.

Ces points sont situés sur le deuxième cercle de Lemoine centré en L et, en notant les longueurs des côtés de rayon $r K = abc ⁄ (a 2 + b 2 + c 2)$ .

Ce cercle est également appelé cercle des cosinus (par John Casey), car les longueurs des cordes [P'Q'], [R'S'] et [T'U'] sont proportionnelles aux cosinus des angles aux sommets opposés du triangle ABC.

Les points d'intersection A’₁, B’₁, C’₁ des droites (RQ), (ST) et (PU) sont situés sur les symédianes.

Ils forment un triangle A’₁B’₁C’₁ symétrique de ABC dans une symétrie de centre L. Par la même symétrie, les triangles P'R'T' et Q'S'U' sont symétriques.

Les quadrilatères P'Q'S'T', Q'R'T'U' et R'S'U'P' sont des rectangles.

Troisième cercle de Lemoine[modifier | modifier le code]

Les "quatre" cercles de Lemoine du triangle ABC (celui d'ordre 0 est le cercle circonscrit)

Le troisième cercle de Lemoine tel que défini par Ehrmann est défini comme suit : pour un triangle ABC de point de Lemoine K, le cercle de Lemoine est le cercle des intersections des côtés étendus (AB), (BC), (CA) et des cercles circonscrits aux triangles ABK, BCK, CAK^[2].

L'encyclopédie mathématique en ligne Mathworld définit le troisième cercle de Lemoine comme le cercle circonscrit à l'ellipse inscrite de Lemoine du triangle ABC^[3].

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Sandor Nagydobai Kiss et Paul Yiu, « On the Tucker Circles », Forum Geometricorum, vol. 17,‎ 2017, p. 157–175 (lire en ligne)
↑ ^{a et b} (en) Darij Grinberg, « Ehrmann's third Lemoine circle », Journal of Classical Geometry, vol. 1,‎ 2012, p. 40-52 (lire en ligne)
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Third Lemoine Circle », sur MathWorld

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « First Lemoine Circle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Cosine Circle », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[1] (en) Sandor Nagydobai Kiss et Paul Yiu, « On the Tucker Circles », Forum Geometricorum, vol. 17,‎ 2017, p. 157–175 (lire en ligne)

[Ehrmann-2] {a et b} (en) Darij Grinberg, « Ehrmann's third Lemoine circle », Journal of Classical Geometry, vol. 1,‎ 2012, p. 40-52 (lire en ligne)

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Third Lemoine Circle », sur MathWorld

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron