Cocyclique

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En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques[modifier | modifier le code]

Propriété — Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Alors A, B, C, D sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

 \left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right)=\left( \overrightarrow{DA},
\overrightarrow{DB} \right)\mod \pi

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de la cocylicité de quatre points par leurs distances.

Théorème de Ptolémée — Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

AB.CD ± AC.DB ± AD.BC = 0.

L'énoncé[1] donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sources et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique »,‎ 2009 (ISBN 9782842250355)

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Donné sous cette forme par Berger 2009, p. 154