Équation différentielle autonome

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Une équation différentielle autonome est un cas particulier important d'équation différentielle où la variable n'apparaît pas dans l'équation fonctionnelle. C'est une équation de la forme :

f(y^{(n)},\dots,y)=0

Les lois de la physique s'appliquent en général à des fonctions du temps, et se présentent sous forme d'équations différentielles autonomes, ce qui manifeste l'invariance de ces lois dans le temps. Ainsi, si un système autonome revient à sa position initiale au bout d'un intervalle de temps T, il connaît dès lors une évolution périodique de période T.

L'étude des équations autonomes est équivalente à celle des champs de vecteurs. Pour une équation du premier ordre, les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Elles sont tangentes au champ de vecteurs en chaque point.

Résolution par les séries de Taylor[modifier | modifier le code]

Pour résoudre par les séries de Taylor, il nous faut tout d’abord ajouter une condition initiale. Et sans perte de généralité, posons cette condition comme étant:

y(0) = 0

En utilisant la théorie des espèces de structures appliquée aux équations différentielles nous calculons la solution de la façon suivante:

Soit (*)

\begin{cases}y' = f(y) \\ y(0) = 0 \end{cases}

une équation différentielle générale autonome d'ordre 1 accompagnée d'une condition initiale. Exprimons tout d'abord la fonction f en série de Taylor. Ainsi

f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} f_n\frac{x^n}{n!}

Alors la solution de (*) est donnée par la série de Taylor suivante :

y(t) = \sum^{\infty}_{n=1} y_n\frac{t^n}{n!}

avec

y_1 = f_0

et

y_n = \sum^{}_{i_1+i_2+...+i_{n-1}=n-1} \frac{i_1(i_1+i_2-1)...(i_1+i_2+...+i_{n-1} - (n-2))}{i_1!i_2!...i_{n-1}!}f_{i_1}f_{i_2}...f_{i_{n-1}}f_0

Système différentiel autonome[modifier | modifier le code]

Un système de deux équations différentielles autonomes du premier ordre est un système de la forme

\begin{cases} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = u(x,y) \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} = v(x,y) \end{cases}

avec u et v continues sur un ouvert \Omega de \R^2. On observe immédiatement qu'il est indépendant de t. Ce système peut être transformé en une équation différentielle en y :

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{v(x,y)}{u(x,y)}

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-François Gagné (dir. Gilbert Labelle), Rapport existant entre la théorie des espèces et les équations différentielles, Université du Québec à Montréal (Mémoire de maîtrise en mathématiques), 1985, 110 pages, [M1216].