Flot (mathématiques)

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Ce schéma représente le flot associé à l'équation différentielle d'un pendule. Les abscisses représentent la position et les ordonnées la vitesse.

Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept utilisé en géométrie différentielle. Il est associé à la notion de champ de vecteurs, c'est-à-dire à une application f, qui à un point x d'un ouvert \Omega d'un espace de Banach E, associe un vecteur de E. Un tel champ définit une équation différentielle du type \alpha ' (t)= f(\alpha(t)). Si la fonction f est localement lipschitzienne, pour chaque point x de U, il existe un intervalle réel maximal et une fonction \alpha_x, définie sur l'intervalle maximal, solution de (1) avec la condition dite de Cauchy \alpha_x(0) = x. Vue comme une fonction de deux variables, t et x, l'application \alpha est appelée le flot du champ f de vecteurs. Cette définition se généralise dans le cas d'un champ de vecteurs temporel (c'est-à-dire dépendant d'une variable t qui prend ses valeurs dans ℝ) et dépendant d'un paramètre \lambda. Le flot et le champ de vecteurs deviennent des fonctions de trois variables : t, x et \lambda.

Si le champ de vecteurs f est régulier, le flot est le support de plusieurs théorèmes, piliers de la théorie des équations différentielles. Si la fonction f est de classe Cp, le flot l'est aussi. Ce résultat est parfois considéré comme une forme avancée du théorème de Cauchy-Lipschitz. Si la fonction f ne dépend pas du temps, le théorème du redressement du flot indique que, localement, le champ de vecteurs est équivalent à un champ constant et cette équivalence transforme le flot en une fonction qui à (x, t) associe x + t.v, si v est l'unique image du champ constant.

Le flot est utilisé dans diverses branches des mathématiques. En analyse qualitative des équations différentielles, il est le cadre d'expression de théorèmes, comme celui de Poincaré-Bendixson. On trouve la notion de flot de manière générale dans l'étude d'un système dynamique continu. En topologie algébrique, il est utilisé pour démontrer le théorème de la boule chevelue ou encore celui du point fixe de Brouwer ; des applications plus avancées définissent des flots caractéristiques de la géométrie des objets étudiés, tels que le flot de Ricci, outil de base utilisé par Grigori Perelman pour démontrer la conjecture de Poincaré. L'usage du flot dépasse le cadre strict des mathématiques ; ainsi, le flot de Ricci est à l'origine d'un des modes d'expression des équations de la relativité générale en physique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Introduction[modifier | modifier le code]

Dans la suite de l'article, E désigne un espace de Banach et Ω un ouvert de E. Le symbole (1) désigne l'équation différentielle x' = f(x), où f est fonction définie sur Ω et à valeurs dans E et (2) l'équation x' = f(t, x). Dans le cas de l'équation (2), Ω désigne un ouvert de \mathbb{R} \times E et f est toujours une fonction définie sur Ω et à valeurs dans E. Dans les deux cas, la fonction f est localement lipschitzienne. La condition de Cauchy appelée C dans l'article, est celle que vérifie une solution s de l'équation. Dans le cas de (1) elle signifie que s(0) = x0, dans le cas (2) les notations choisies sont : s(t0) = x0[Note 1]. Il existe un troisième cas, plus général et qui permet en particulier l'étude des singularités de certaines équations différentielles. L'équation (3) désigne la suivante : x' = f(t, λ, x). Dans ce cas Ω est un ouvert de \mathbb{R} \times E \times F est encore un espace de Banach et f est toujours localement lipschitzienne.

Le flot permet de formaliser un vocabulaire adapté pour l'étude de deux questions concernant les équations différentielles : la sensibilité à la condition initiale et le comportement asymptotique. Ces questions sont au cœur d'une branche mathématique appelée système dynamique.

Si la condition initiale, dite condition de Cauchy, est un peu modifiée, il se peut que la solution de l'équation soit de plus en plus éloignée de la courbe intégrale originelle, si la variable t augmente. Tel est le cas, par exemple pour les systèmes chaotiques. L'étude de la régularité du flot apporte des premiers éléments de réponse.

Dans certaines conditions et pour une condition initiale donnée, la solution se prolonge à l'infini et se stabilise plus ou moins. Elle peut converger vers une valeur, s'approcher de plus en plus d'un comportement périodique, diverger ou encore adopter un comportement différent et appelé chaotique. L'étude de ces différents comportements est l'objet de la seconde question.

Sensibilité à la condition initiale[modifier | modifier le code]

Pour l'étude de la sensibilité initiale, on étudie les flot locaux ou globaux, qui permettent d'énoncer une version plus forte du théorème de Cauchy-Lipschitz.

L'étude de la sensibilité à la condition initiale, impose un vocabulaire et une représentation géométrique un peu différents de ceux utilisés dans les approches plus élémentaires. Pour en comprendre l'origine de cette différence, le plus simple est de considérer le cas d'une équation différentielle autonome, c'est-à-dire de type (1), d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction f, appelé champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points x de Ω une représentation graphique du vecteur f(x), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy C peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant initial 0 et à la position x0. Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé flot, coulée ou encore courant[1]. Dans le cas général de l'équation (2), c'est-à-dire celui où l'équation n'est pas nécessairement autonome, on dispose de la définition suivante :

Soit U un voisinage de x0 tel que {t0}xU soit inclus dans Ω et J un intervalle ouvert contenant t0. Un flot local est la donnée d'une application βt0 de JxU dans E tel que pour tout x de U, l'application de J dans E, qui à t associe βt0(t, x) soit une courbe intégrale de condition de Cauchy (t0, x) (c'est-à-dire que βt0(t0, x) = x)[2].

Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence de courbes intégrales maximales. C'est-à-dire que, pour une condition de Cauchy donnée, il existe un intervalle maximal, une unique solution de l'équation définie sur cet intervalle et vérifiant la condition de Cauchy. Ce résultat permet d'enrichir les définitions associées au flot.

Soit x un point de E et Jx l'intervalle égal au domaine de définition de la solution maximale satisfaisant la condition de Cauchy (t0, x), qui peut être vide si, par exemple, (t0, x) n'est pas élément de Ω. On note D(f) et on appelle domaine de définition du flot global l'ensemble des couples (t, x) de RxE tel que t soit un élément de Jx.
Le flot global de f est l'application αt0 de D(f) dans E, telle que l'application qui à t associe αt0(t, x) soit la solution maximale de (2) associée à la condition de Cauchy (t0, x)[3].

Dans toute la suite de l'article α désigne le flot global du champ vectoriel f. Si α ne comporte pas d'indice, cela signifie que la fonction qui à t associe α(t, x) est la courbe intégrale maximale s vérifiant la condition de Cauchy : s(0, x) = x. Sinon αt0 désigne le flot global vérifiant αt0(t0, x) = x

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

La deuxième question concerne le comportement asymptotique[4] du flot, autrement dit ce qui se passe une fois le système stabilisé, si jamais il se stabilise. Pour la traiter, un vocabulaire spécifique existe, il suppose en général que l'équation différentielle est choisie autonome[Note 2], c'est-à-dire que le champ de vecteurs ne dépend pas du temps et que l'équation différentielle associée soit de type (1).

Un ensemble invariant par le flot[5] α est un sous-ensemble A de Ω tel que si a est élément de A et si t est tel que (t, a) soit élément du domaine de définition du flot, α(t, a) soit aussi élément de A.

Pour reprendre la métaphore de l'introduction, un ensemble A invariant par le flot est tel qu'un bouchon placé initialement en A reste toujours en A. Pour l'étude des systèmes dynamiques, les ensembles invariant jouent un peu le même rôle que les connexes en topologie élémentaire[6]. Si une trajectoire entre dans un ensemble invariant, elle n'en sort plus. On peut alors limiter l'étude à cette zone pour déterminer le comportement asymptotique. Il existe de nombreux exemples d'ensembles invariants par le flot, l'orbite en est un.

L'orbite[5] ou la trajectoire d'un point x de Ω est l'ensemble des points de l'image d'une courbe intégrale maximale passant par x.

Une orbite telle que la courbe intégrale associée tende vers une valeur si t tend vers plus et moins l'infini est dite hétérocline si les deux limites sont distinctes et homocline sinon. Si la courbe intégrale est périodique, l'orbite est dite périodique.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que les différentes orbites forment une partition de Ω. L'orbite n'est pas l'unique ensemble invariant par le flot étudié :

Un point de x de Ω est dit, point d'équilibre, point fixe ou point stationnaire[5] s'il existe une courbe intégrale maximale ayant pour image x ou encore si x est un zéro de la fonction f. S'il existe un ensemble d'intérieur non vide et contenant x tel que toute courbe intégrale maximale ayant une intersection non vide avec ce voisinage converge vers x, le point est dit attractif.

Un point d'équilibre xe est un point sans courant, ou encore un point tel que, si l'on y place le bouchon, il reste indéfiniment immobile. Deux comportements différents peuvent se produire, le point peut être attractif ou non. Il peut exister une zone pas trop petite (d'intérieur non vide) tel que tout point dans cette zone finit par s'immobiliser en xe. Ce point semble attirer les trajectoires vers lui, pour cette raison, on parle de point attractif. Sinon, tout point se rapprochant de xe finit par s'éloigner, ce point d'équilibre est alors instable et il faut positionner le bouchon exactement sur le point pour qu'il y reste immobile. On parle d'équilibre instable. Dans le cas général, d'autres comportements que la convergence sont possibles :

Soit x un point de Ω dont la courbe intégrale maximale est définie sur R. L'ensemble ω-limite[7] de x, noté ω(x) est l'intersection des adhérences des sections finissantes de l'image de la courbe intégrale maximale vérifiant la condition de Cauchy s(0) = x.
\omega(x) = \bigcap_{t\ge0} \overline{\{\alpha(s,x)\; s \ge t \}}

Cet ensemble est encore invariant par le flot, il correspond à la zone limite parcourue par la trajectoire si t devient très grand. La même définition s'applique dans le cas où t devient très petit, on parle d'ensemble α-limite.

\alpha(x) = \bigcap_{t\le0} \overline{\{\alpha(s,x)\; s \le t \}}

Un exemple d'ensemble ω-limite est celui où le bouchon finit par parcourir indéfiniment un cercle, par exemple autour d'un tourbillon. Le comportement asymptotique de la courbe intégrale est celui d'une fonction périodique.

Une notion connexe est celle d'attracteur. L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limite[4].

Sensibilité à la condition initiale[modifier | modifier le code]

Résumé[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Cauchy-Lipschitz.

Dans sa version élémentaire, le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence et l'unicité d'une courbe intégrale maximale, cependant aucune information ne concerne la sensibilité à la condition initiale. Il est possible de pallier cette faiblesse :

  • Le domaine de définition ainsi que le flot global αt0 est unique et il est continu, de classe C1 par rapport à la première variable et localement lipschitzien. Le domaine de définition est ouvert[8].
  • Si la fonction f est de classe Cp, il en est de même du flot global αt0[9].

L'unicité du flot s'entend avec la condition de Cauchy αt0(t0, x) = x pour tout x tel que (t0, x) soit élément du domaine de définition du flot global. Modifier la valeur de t0 correspond à définir un nouveau flot. Cependant ce nouveau flot n'apporte pas d'information supplémentaire, il correspond au précédent, à une translation de la première variable près.

Pour certaines études, comme celles analysant des singularités de courbes intégrales, il est utile d'ajouter un paramètre à l'équation, qui prend la forme : x' = f(t, x, λ). Le flot global dépend alors du paramètre λ, choisi dans un Banach F. La question est celle de la régularité du flot global en fonction du paramètre. Le théorème décrivant cette situation est parfois dénommé théorème de Cauchy-Lipschitz : cas non autonome avec paramètre[10]. Si la fonction f est de classe Cp, le flot, considéré comme une application d'un ouvert de RxExF est aussi de classe Cp.

Continuité du flot local[modifier | modifier le code]

Dans un premier temps, on étudie le cas de l'équation (1), c'est-à-dire celui d'une équation différentielle autonome. L'objectif est d'établir la continuité locale d'un flot, c'est-à-dire d'analyser ce qui se passe si la condition de Cauchy est peu modifiée. On souhaite définir une fonction β sur un voisinage d'un couple (0, x0), avec x0 élément de Ω, telle que l'application qui à t associe β(t, x) soit une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy β(t, x) = x.

Soit a un réel strictement positif et B la boule fermée de centre x0 et de rayon a. La valeur a est choisie telle que la boule fermée de centre x0 et de rayon 2.a soit incluse dans Ω et telle que la restriction à cette boule de la fonction f soit k-lipschitzienne, avec k strictement supérieur à 0[Note 3]. Soit m un majorant strictement positif de la norme de f sur la zone considérée, qui existe car f est lipschitzienne sur cette zone. Soit enfin b un réel strictement positif, strictement plus petit que a/m et que m/((1 + m)k). Ce réel b permet de définir un espace de fonctions G sur lequel on construit une application Ψ satisfaisant au théorème du point fixe. Soit G l'ensemble des fonctions définies sur [-b, b]xB, à valeurs dans la boule fermée de centre x0 et de rayon 2.a, continues, m+1-lipschitziennes par rapport à la deuxième variable et telles que l'image d'un point (0, x) soit égal à x, si x est un élément de B.

  • Lemme 1 : Muni de la norme de la convergence uniforme, G est un espace complet.

On considère une application Ψ, qui à une fonction u de G associe la fonction Ψu, définie par :

\forall (t,x) \in [-b,b]\times B\quad \Psi_u (t,x) = x + \int_0^t f(u(\tau,x)) \mathrm d \tau

Dire qu'une fonction β est un flot sur [-b, b]xB est équivalent à dire que β est un point fixe de Ψ.

  • Lemme 2 : L'application Ψ est à valeurs dans G et est contractante.

On en déduit l'existence et l'unicité d'un point fixe β c'est-à-dire d'un flot local au voisinage de (0, x). Comme le point fixe est élément de G, il est continu et lipschitzien par rapport à la deuxième variable. Le fait que β soit un point fixe montre que :

\forall (t,x) \in [-b,b]\times B\quad \beta(t,x) = x + \int_0^t f(\beta(\tau,x)) \mathrm d \tau

Les fonctions f et β étant continues, β est dérivable par rapport à t, ce qui montre que β est lipschitzienne et termine la démonstration de la proposition suivante :

  • Proposition : Soit x0 un élément de Ω, il existe un voisinage de (0, x0) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (1) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable[11].

Équation différentielle non autonome[modifier | modifier le code]

À l'aide d'un habile jeu d'écriture[12], il est possible de généraliser le cas particulier précédent aux équations dépendantes du temps. On considère maintenant l'équation (2) du théorème, associée à la condition de Cauchy C. Soit g, la fonction de Ω dans le Banach RxE, définie par :

\forall y \in \Omega \quad g(y) = (1, f(y))\quad\text{avec}\quad y = (t,x)

Si y0 désigne le point de Ω égal à (t0, x0), on considère l'équation différentielle et la condition de Cauchy suivante :

(4)\quad y' = g(y) \quad\text{avec la condition de Cauchy }C_2\quad y(0) = y_0 = (t_0, x_0)

La fonction g est localement lipschitzienne car f l'est. En effet, si y est un élément de Ω, il existe un voisinage V de y et un réel k strictement positif associée à f tel que, si les coordonnées d'un point y1 (resp. y2) de V, sont notées (t1, x2) (resp. (t2, x2)), on a :

\|g(y_1) - g(y_2)\| = \|(1, f(y_1)) - (1, f(y_2))\| = \|f(t_1, x_1) - f(t_2, x_2)\| \le k\|(t_1-t_2,x_1-x_2)\|

L'équation (4) est bien une équation différentielle autonome, le paragraphe précédent assure l'existence et l'unicité d'un flot local. Soit βg(τ, y) la solution locale de l'équation (4) autour du point y0. On dispose des égalités, si β2 g désigne la deuxième coordonnée de βg :

\frac {\partial \beta_g}{\partial \tau}(\tau,y) = g(y) = (1, f(t,x))\quad\text{et}\quad t = \tau + t_0,\; \frac {\partial \beta_{2g}}{\partial \tau}(\tau,(t,x))=f(\tau + t_0,x)

Soit βt0 la fonction qui à (t, x) associe la valeur de la fonction β2 g au point (t - t0, (t0, x)). Les égalités suivantes montrent que β est bien le flot local de l'équation (2), défini sur un voisinage de (t0, x0), et contenant la courbe intégrale locale de l'équation (2) avec la condition de Cauchy C :

\frac {\partial \beta_{t_0}}{\partial t}(t,x) = f(t,x)\quad\text{et}\quad \beta_{t_0}(t_0,x) = x
  • Proposition : Soit (t0, x0) un élément de Ω, il existe un voisinage de (t0, x0) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (2) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable.

Équation différentielle avec paramètre[modifier | modifier le code]

On souhaite maintenant étudier le cas d'un flot local associé à l'équation :

(3)\quad \frac {\mathrm dx}{\mathrm dt} = f(t,\lambda, x)

Le paragraphe précédent montre que l'on peut se ramener au cas de l'équation différentielle autonome : x' = f(λ, x). On suppose maintenant que λ est élément d'un Banach F et Ω est un ouvert de FxE et f est une fonction localement lipschitzienne définie sur Ω. Le couple (λ0, x0) est un élément de Ω. La même astuce que celle du paragraphe précédent permet de montrer l'existence locale d'un flot dépendant maintenant de trois variables t, λ et x au voisinage de (0, λ0, x0). Ce flot local est lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable[8]. Soit g, la fonction de Ω dans le Banach FxE, définie par :

\forall y \in \Omega \quad g(y) = (0, f(y))\quad\text{avec}\quad y = (\lambda,x)

Avec le même raisonnement que le paragraphe précédent, on montre l'existence d'un flot local βg défini au voisinage du point (0, λ0, x0) et à valeurs dans FxE tel que :

\frac {\partial \beta_g}{\partial t}(t,y) = g(y) = (0, f(\lambda,x))\quad\text{et}\quad \beta_{1g}(t,(\lambda,x)) = \lambda,\; \frac {\partial \beta_{2g}}{\partial t}(t,(\lambda,x))=f(\lambda,x)

On définit de même le flot β qui à (t, λ, x) associe la valeur de la fonction β2 g au point (t, (λ, x)). Les égalités suivantes montrent que β est bien le flot local de l'équation du paragraphe, défini sur un voisinage de (0, λ0, x0), et contenant la courbe intégrale locale de l'équation considérée, avec la condition de Cauchy (0, x0)  :

\frac {\partial \beta}{\partial t}(t,\lambda,x) = f(\lambda,x)\quad\text{et}\quad \beta(0,\lambda,x) = x

Avec le paragraphe précédent, on en déduit la formulation générale :

  • Proposition : Soit f une fonction localement lipschitzienne définie sur Ω un ouvert de RxFxE et (t0, λ0, x0) un élément de Ω, il existe un voisinage de (t0, λ0, x0) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (3) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable.

Régularité du flot local[modifier | modifier le code]

Les démonstrations associées à la régularité du flot ont pendant longtemps été un peu complexes. De manière indépendante Pugh et Robbin ont trouvé une démonstration élémentaire utilisant le théorème des fonctions implicites[13]. Une fois encore, l'équation considérée est celle notée (1), c'est-à-dire que la paragraphe ne traite que d'une équation différentielle autonome. Les deux paragraphes précédents montre que traiter ce cas particulier implique le cas général de l'équation non autonome avec paramètre.

Soit x0 un élément de U, b un réel strictement positif tel qu'il existe un flot local β défini sur l'ensemble [-b, b]xU. Dans ce paragraphe, G désigne le Banach des fonctions continues de [-b, b] à valeurs dans E, la norme du Banach est celle de la convergence uniforme. Enfin, V est le sous-ensemble des fonctions de G dont l'image est incluse dans U. On remarque que V est un ouvert de E. En effet, si f est un élément de G, l'image de f, encore notée f([-b, b]), est un compact inclus dans U, la distance δ de ce compact au complémentaire de U dans E est un réel strictement positif et la boule de centre f et de rayon δ/2 est inclus dans V. Ceci montre que pour tout élément f de V, il existe une boule de centre f et de rayon strictement positif inclus dans V et, par voie de conséquence, que V est ouvert.

On considère l'application Tb de UxV dans G définie par :

\forall x \in U,\; \forall \sigma \in V,\; \forall t \in [-b,b]\quad T_b(x,\sigma)(t) = x + \int_0^t f(\sigma(\tau))\mathrm d \tau - \sigma(t)

Dire qu'un couple (x, σ) est un zéro de la fonction Tb revient à dire que σ est une solution locale de l'équation (1) avec la condition de Cauchy σ(0) = x.

On dispose du lemme suivant :

  • Lemme 1 : Il existe un réel b strictement positif tel que la fonction Tb soit de classe C1 et satisfasse les hypothèses du théorème des fonctions implicites.

Cela signifie que la fonction implicite (en) donnée par l'équation Tb(x, σ) = 0 est définie localement. Or un élément du graphe de cette fonction implicite possède pour deuxième coordonnée, une solution locale σ de l'équation (1) avec la condition de Cauchy σ(0) = x et définie sur le domaine domaine [-b, b]. Autrement dit, la fonction qui à x associe β(., x) est de classe C1, ce qui permet de déduire un premier résultat :

  • Lemme 2 : Si la fonction f est de classe C1, le flot local β l'est aussi.

La deuxième différentielle partielle de β vérifie une équation différentielle non autonome. Le paragraphe traitant de ce type d'équation montre qu'elle peut se ramener à une équation autonome, ce qui permet de montrer que la différentielle de β est aussi de classe C1, puis par récurrence, on montre que si f est de classe Cp. Le paragraphe sur les équations différentielles avec paramètres montre que ce résultat se généralise aux équations de type (3) :

  • Proposition : Si une fonction f définissant une équation différentielle non nécessairement autonome et à paramètre est de classe Cp, il existe un ouvert contenant (t0, λ0, x0) et le flot local défini sur cet ouvert est de classe Cp[9].

Régularité du flot global[modifier | modifier le code]

Un flot discontinu ne peut pas se produire si le champ de vecteurs le définissant est continu et défini sur un ouvert.

Pour généraliser les propriétés au flot global, il reste encore un peu de travail. Il s'agit surtout de montrer que la configuration de droite ne peut pas se produire. En reprenant la métaphore de l'introduction, on suppose que l'étang contient un rocher. Sur la zone rouge, le flot contourne le rocher, sur la zone bleu il passe tout droit. Le flot possède alors des points de discontinuité. Pour s'en rendre compte, on considère l'évolution d'un voisinage d'un point symbolisé par une zone grise circulaire à un instant 0, sur la figure de droite. Ce point est situé à la frontière des deux zones. À l'instant t0, ce voisinage est découpé en deux parties éloignées l'une de l'autre. Cette configuration peut se produire, par exemple si Ω n'est pas un ouvert. En revanche, dans les hypothèses étudiées, cette configuration est impossible.

Certaines propriétés sont plus simples à démontrer que la continuité. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous sa forme élémentaire garantit à la fois l'existence et l'unicité du flot global α et de son domaine de définition. Il assure aussi que le flot global est dérivable par rapport à la première variable et que la dérivée partielle, considérée comme une fonction de t, est continue. Le paragraphe précédent apporte aussi des informations. Il établit que si t est proche de 0 et si t et x varient peu, le flot est de classe Cp, si f l'est. En revanche, la continuité du flot global α suppose aussi que l'expression α(t, x) soit continue en x, même si t n'est pas proche de 0. On a supposé ici que (t, x) est un point du domaine de définition de α.

Une remarque est utile, valable uniquement pour les équation autonomes. Le point β(s, x) désigne la position, à l'instant s, du point qui était en x à l'instant 0. Le point β(t, β(s, x)) désigne la position à l'instant t, du point qui était en β(s, x), à l'instant 0. Il désigne aussi la position à l'instant s + t du point qui était en position x à l'instant s. Ce qui signifie, si les différentes valeurs sont dans les bons domaines de définitions :

\beta(t,\beta(s,x)) = \beta(t+s,x)\;

Ainsi, si les domaines de définitions s'y prêtent, il est possible de combiner les flots locaux, pour en construire un plus vaste. Cette technique permet de munir les flots locaux d'une structure de semi-groupe. Si le flot global est toujours défini sur R, les solutions intégrales maximales partageant une portion de domaine de définition, forment une structure de groupe, image de R par un morphisme de groupes. Cette remarque et utilisée afin de montrer le résultat suivant :

  • Lemme 1 : Le flot global d'une équation différentielle autonome existe et est unique, il est défini sur un ouvert, continue, dérivable par rapport à la première variable et localement lipschitzien par rapport à la deuxième.

Une fois ce résultat établi, il est simple de le généraliser :

  • Théorème : Le flot global d'une équation différentielle à paramètre existe et est unique. Il est défini sur un ouvert. Si le champ de vecteurs f est de classe Cp le flot global l'est aussi[14].

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

Comportement à la limite du domaine[modifier | modifier le code]

L'équation différentielle x' = -x2 n'admet pas de solution sur R tout entier si l'image de 0 n'est pas nulle.

Pour une valeur de x prise dans E, la courbe intégrale maximale t → αt0(t, x) est parfois définie sur R, mais pas toujours. Deux obstacles peuvent se présenter. Un premier cas est celui où la courbe atteint les limites de l'ouvert Ω. Si tel n'est pas le cas, il n'existe qu'un seul obstacle possible : la courbe n'est pas bornée[15].

  • Soit b la borne supérieure du domaine de définition de la courbe intégrale maximale s vérifiant la condition de Cauchy s(t0) = x0, si b est fini et si f est bornée sur le graphe de s au voisinage de b, alors l'ensemble B suivant est d'intersection vide avec Ω[16] .
B = \bigcap_{t \in[t_0,b[} \overline {\big\{\big(\tau,s(\tau)\big),\;\text{avec}\; t\le \tau <b \big\}}

En effet, si f est bornée sur le graphe de s au voisinage de b, alors la solution s admet une dérivée bornée et est uniformément continue sur ce voisinage, ce qui montre que s est uniformément continue sur [t0, b[et il est donc possible de la prolonger par continuité sur b. Si (b, s(b)) était élément de Ω, le théorème de Cauchy-Lipschitz montrerait que la solution s se prolonge aussi sur un voisinage de b dans R, autrement dit que b n'est pas la borne supérieure de la courbe intégrale maximale. Par hypothèse b est cette borne supérieure, cette contradiction permet d'en déduire que les valeurs d'adhérences de l'ensemble B ne sont pas dans Ω et termine la démonstration.

Un exemple est donné[17] par l'équation x' = -x2. La solution s'écrit :

\alpha(t,x) = \frac x{xt+1}

Pour les images de 0 par une courbe intégrale différentes de 0, il n'est pas possible de prolonger les courbes au-delà de -1/x.

Ensemble ω-limite[modifier | modifier le code]

Le système dynamique de Lorenz montre un exemple où les ensembles ω-limites sont en général de structure complexe.

On suppose ici que l'équation différentielle étudiée est autonome. Une méthode pour étudier le comportement asymptotique est d'analyser l'ensemble ω-limite d'une orbite. Cet ensemble possède toujours les propriétés suivantes :

  • Soit x un élément de Ω, l'ensemble ω-limite ω(x) est un fermé invariant par le flot.

En particulier, si y est un point de la trajectoire passant par x, alors ω(x) = ω(y). Si l'orbite de x n'est pas à valeurs dans un ensemble borné, la proposition peut s'avérer moins forte qu'il n'y parait : l'ensemble ω(x) peut être vide. Tel est le cas si la courbe intégrale s ayant pour condition de Cauchy s(0) = x est définie par s(t) = v.tv est un vecteur non nul de E. Si l'orbite est compacte, on a par contre :

  • Avec les notations précédentes, si la trajectoire de x est à valeurs dans un compact K, ω(x) est un connexe compact non vide[18].

La trajectoire peut néanmoins être complexe, le système dynamique de Lorenz est un exemple exhibant des ensembles ω-limites compacts dont la dimension de Hausdorff n'est pas égale à 1.

Théorème de Poincaré-Bendixson[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Poincaré-Bendixson.

Il existe un cas où le flot dispose d'un comportement asymptotique relativement simple, il se produit si l'équation différentielle associée est autonome, si l'espace E est le plan et si la courbe intégrale considérée est compact. On dispose alors du théorème suivant, si α est le flot et x un point de Ω.

  • Dans le cadre des hypothèses du paragraphe, la fonction qui à t associe α(t, x) est une fonction définie sur R. Si cette fonction n'est pas convergente, l'ensemble ω-limite est l'image d'une orbite cyclique[19].

Ce théorème se généralise mal. Si E est de dimension supérieure à deux, le système dynamique de Lorenz montre que le résultat du théorème n'est plus généralement vrai.

Analyse locale[modifier | modifier le code]

Théorème du redressement d'un flot[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème du redressement.

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]
    Ce livre se limite au cas où E est un espace vectoriel de dimension finie. Il traite presque de l'intégralité des informations de l'article sur la sensibilité à la condition initiale, à l'exception du caractère Cp du flot local.
  • S. Lang, Analyse Réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-7296-0059-4)
    Ce livre traite de manière relativement complète la question de la sensibilité à la condition initiale. Le cas général du Banach est traité, ainsi que le contenu de toute la partie démonstration de l'article.
  • P. Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann, 1972 (ISBN 2-7056-5696-0)
    Cette référence, encore sur la sensibilité à la condition initiale, est plus complète, mais plus ardue que la précédente. L'orientation est définitivement géométrique.
  • D. Leborgne, Calcul différentiel et géométrie, Puf, 1982 (ISBN 2-13-037495-6)
    Ce livre suppose déjà connu le théorème dans le cas des Banach et le généralise aux variétés différentielles. Il ne traite pas l'analyse du comportement asymptotique d'un flot.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Les différentes définitions du vocabulaire utilisé ici sont données dans l'article théorème de Cauchy-Lipschitz.
  2. C'est le choix de la référence : T. Sari, Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, École normale supérieure de Lyon
  3. Si k est égal à 0, la solution du problème de Cauchy est la fonction qui à t associe (t - t0).f(x0) + x0

Références[modifier | modifier le code]

  1. D. Leborgne, Calcul différentiel et géométrie, Puf, 1982 (ISBN 2-13-037495-6), p. 228
  2. Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p. 40
  3. Berger et Gostiaux, op. cit., p. 46
  4. a et b T. Sari, Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, École normale supérieure de Lyon, p. 264
  5. a, b et c T. Sari, op. cit., p. 263
  6. Cette comparaison provient de : S. Cantat, Théorème de Poincaré-Bendixson, École normale supérieure de Lyon, Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3
  7. S. Cantat, op. cit.
  8. a et b Berger et Gostiaux, op. cit., p. 50
  9. a et b S. Lang, Analyse Réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-7296-0059-4) p. 129
  10. D. Leborgne, op. cit., p. 219
  11. Cette proposition, ainsi que la démonstration associée provient de Berger et Gostiaux, op. cit., p. 42
  12. Berger et Gostiaux, op. cit., p. 49
  13. Cette information ainsi que la démonstration proposée s'inspire de : S. Lang, op. cit., p. 129
  14. Berger et Gostiaux, op. cit., p. 47
  15. On trouve une démonstration au 10.5.5 de : (en) J. Dieudonné, Foundations Of Modern Analysis, 2006 (ISBN 1-4067-2791-1)
  16. Cet énoncé ainsi que la preuve provient de : F. Paulin, Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale Supérieure, p. 235
  17. Il provient de Berger et Gostiaux, op. cit., p. 52
  18. Une démonstration, détaillant celle de S. Cantat, op. cit., est proposée dans la section « Flot » de l'article « Théorème de Poincaré-Bendixson »..
  19. (en) R. Kollár, The Poincaré-Bendixon theorem, University of Michigan