Relations entre coefficients et racines

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Un polynôme $P (x)$ de degré $n$ s'écrit sous sa forme la plus générale :

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\,$

où $a i$ est appelé coefficient de $x i$ . On peut aussi définir $P$ grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de $x$ qui annulent $P$ . Le théorème d'Alembert-Gauss nous assure que tout polynôme admet exactement $n$ racines sur $\mathbb{C}$ , éventuellement multiples (sur $\mathbb{R}$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). On montre que $P$ peut se réécrire :

$P(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\,$

avec $r i$ les racines de $P$ , éventuellement multiples.

Sommaire

1 Relations de Viète
2 Sommes de Newton
- 2.1 Exemple introductif
- 2.2 Théorème

[modifier] Relations de Viète

[modifier] Polynômes symétriques

On définit le $k$ -ième polynôme symétrique, noté $σ k$ , comme la somme de ses éléments multipliés $k$ fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables $w$ , $x$ , $y$ et $z$ sont :

$\sigma_1 = w + x + y + z \,$

$\sigma_2 = wx + wy + wz + xy + xz + yz\,$

$\sigma_3 = wxy + wyz + xyz\,$

$\sigma_4 = wxyz\,$

Plus généralement,

$\sigma_1=\sum_{i=1}^n x_i\,$

$\sigma_2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} x_ix_j\,$

$\vdots\,$

$\sigma_k=\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k}\,$

$\vdots\,$

$\sigma_n=x_1x_2\ldots x_n\,$

[modifier] Théorème

Soient $P$ un polynôme définit comme ci-dessus et $x i$ les $n$ racines de $P$ , éventuellement multiples. Nous avons le résultat suivant :

$\sigma_{k}=(-1)^{k}\cdot\frac{a_{n-k}}{a_{n}}\,$

[modifier] Exemples

Cas $n = 2$

Soient $P (x) = a x 2 + b x + c$ et $x$ , $y$ ses racines. Alors,

$x+y = -\frac{b}{a}\,$

$xy = \frac{c}{a}\,$

Cas $n = 3$

Soient $P (x) = a x 3 + b x 2 + c x + d$ et $x$ , $y$ , $z$ ses racines. Alors,

$x+y+z = -\frac{b}{a}\,$

$xy+xz + yz = \frac{c}{a}\,$

$xyz = -\frac{d}{a}\,$

[modifier] Sommes de Newton

[modifier] Exemple introductif

On se donne le polynôme $P (x) = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 4$ avec $a$ , $b$ , $c$ ses racines. On veut déterminer la somme $a 2 + b 2 + c 2$ . Pour cela, nous disposons de l'identité suivante :

$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)\,$

Si bien que, d'après les relations de Viète :

$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2-2\cdot3=-2$

[modifier] Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose $s_k = r_1^k + \cdots + r_n^k$ , où les $r i$ sont les racines de $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ . Nous disposons des relations suivantes :