Module élastique

Cet article est une ébauche concernant la mécanique et la physique des matériaux. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La connaissance du module et son évolution en fonction de T sont nécessaires pour la sélection du matériau le plus adapté.

Le module élastique ou module d’élasticité est une grandeur intrinsèque, définie par le rapport de la contrainte à la déformation élastique provoquée par cette contrainte. La déformation est exprimée comme une grandeur sans dimension. L’unité pratique souvent usitée du module est le MPa.

Le comportement élastique d’un matériau homogène isotrope et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d’élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d’élasticité, sur un total de six modules : E, G, K, M, ν et λ. L’utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature.

En ingénierie structurelle, le choix le plus courant est la paire module de Young et coefficient de Poisson (E, ν) ; la paire équivalente (E, G) est aussi utilisée. Le module E (lié à la raideur) est souvent utilisé en acoustique.

La connaissance des caractéristiques rhéologiques en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de viscosités sont souvent importantes. Voir aussi Température de transition vitreuse (Tg) et Thermostabilité.

Typologie

Selon le type de déformation, le module d’élasticité d’un matériau peut être :

• le module de Young ou de traction, d’élasticité longitudinale, de compression, de flexion ($E_f$), souvent appelé simplement « module d’élasticité » (E) ;
• le module de cisaillement ou d’élasticité tangentielle, de torsion ($G_{to}$), etc. (G) ;
• le module d'élasticité isostatique ou de compressibilité, de compression en flambage, etc. (K) ;
• ou le module d’onde de compression ou d’onde plane... (L ou M).

Divers types de modules élastiques correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

Nom	Comportement du matériau	Relation décrivant le comportement
Module de traction	Soumis à une contrainte uniaxiale $\sigma_E$, l’échantillon subit une dilatation linéaire $\varepsilon_E$ faible par rapport à l’épaisseur.	$\sigma_E = E_t \ \varepsilon_E$
Module de cisaillement	Soumis à une contrainte de cisaillement $\sigma_C$, l’échantillon subit une déformation $\varepsilon_C$ sans changer de volume.	$\sigma_C = G_s \ \varepsilon_C$
Module de compressibilité mécanique	Soumis à une contrainte de compressibilité $\sigma_K$, l’échantillon subit une variation de volume $\varepsilon_K$ sans changer de forme.	$\sigma_K = K \ \varepsilon_K$
Module en déformation uniaxiale	Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité $\sigma_M$, l’échantillon subit une variation de volume $\varepsilon_M$ sans changer de forme. La déformation résultante est grande par rapport à l’épaisseur.	$\sigma_M = L \ \varepsilon_M$

Modules en régime dynamique

Représentation dans le plan complexe

En général, pour un matériau viscoélastique, il n’existe pas de relation contrainte $\leftrightarrow$ déformation (équation rhéologique) indépendante du temps, c’est le cas notamment du rapport contrainte sur déformation. Le rapport contrainte dynamique $\sigma(t)$ sur déformation dynamique $\varepsilon(t)$ d’un matériau viscoélastique soumis à une vibration sinusoïdale est appelé module complexe ou module dynamique ou module viscoélastique, noté $M^*$ :

$M^*(t) = \frac {\sigma(t)} {\varepsilon(t)} = M'(t) + iM''(t) = \frac {1} {C^*(t)}$

$|M|^2 = \left( \frac {\sigma_A} {\varepsilon_A}\right )^2 = (M')^2 + (M'')^2$

avec :

$M'$, le module de conservation, partie réelle de $M*$, représentant la composante élastique de $M^*$ et la rigidité du matériau viscoélastique ;

$M''$, le module de perte, partie imaginaire de $M*$, représentant la composante visqueuse de $M^*$ ;

$C^*$, la complaisance complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;

$\sigma_A$ et $\varepsilon_A$, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.

Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

Le schéma ci-contre représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le plan complexe, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; $\delta$ est l’angle de phase entre la contrainte et la déformation.

Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu’il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n’est fonction que de la fréquence (ou du temps) et de la température (T). À partir d’un niveau de déformation critique, le comportement de l’échantillon est non-linéaire.

Un module viscoélastique est déterminé en DMA à partir de la géométrie et de la raideur dynamique de l’échantillon. Par exemple, les modules viscoélastiques $E'$ et $E''$ d’un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l’échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques $G'$ et $G''$ d’un produit solide, d’un (polymère) fondu, d’une résine, d’un bitume, etc. peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d’un rhéomètre dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la caractérisation se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

La viscosité dynamique $\eta'$ est proportionnelle à $G''$.

Bibliographie

• [1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., Rheol. Acta, 6 (4), p. 316 (1967)
• [2] Read, B.E. et Dean, G.D., The determination of dynamic properties of polymers and composites, 207 p., Adam Hilger, Bristol, 1978. ISBN 0852743637

Voir aussi

• Notion de module
• Loi de Hooke
• Déformation élastique
• Coefficient de Lamé
• Essai mécanique
• Rhéologie des solides
• Complaisance
• Principe d'équivalence temps-température
• Tenseur des constantes élastiques
• Module de relaxation

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d’entre eux en utilisant ces formules.
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$