Torsion

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Sapin tordu et couché par la bise

Moments de force résultant de l'action d'un couple de forces dans deux plans parallèles

La torsion est la sollicitation subie par un corps soumis à l'action d'un couple de forces opposées agissant dans des plans parallèles et dont l'élément de réduction est un moment de force agissant dans l'axe de la poutre. La théorie des poutres décrit cette sollicitation de manière plus précise.

La balance de torsion est un appareil servant à mesurer l'intensité de petites forces au moyen du couple de torsion d'un fil métallique.

Un ressort de torsion est une tige soumise à des efforts de torsion et pouvant accepter de grandes déformations.

La barre de torsion est un ressort de torsion peu déformable constitué d'une barre métallique. Les barres de torsion sont notamment utilisées pour la suspension de véhicules automobiles.

Torsion en théorie des poutres

Torsion uniforme d'un arbre circulaire

Répartition des contraintes sur l'axe vertical dans le cas d'un arbre plein (gauche) et d'un tube (droite).

Selon la théorie d'Euler-Bernoulli, si l'on reste en petites déformations, le moment de torsion M_t crée des contraintes de cisaillement τ qui sont proportionnelle à la distance r par rapport à l'axe de torsion :

$\tau(r) = \frac{\mathrm{M_t}}{\mathrm{I_G}} r$

où

• M_t est le moment de torsion ;
• I_G est le moment quadratique de torsion, dépendant de la forme de la section (diamètre extérieur, et diamètre intérieur dans le cas d'un tube).

Pour un arbre plein, on a

$\mathrm{I_G} = \frac{\pi \mathrm{D}^4}{32}$

où D est le diamètre. Pour un tube, on soustrait simplement le moment quadratique de la partie évidée :

$\mathrm{I_G} = \frac{\pi ( \mathrm{D}^4 - d^4)}{32}$

où D est le diamètre extérieur et d est le diamètre intérieur.

Article détaillé : Moment quadratique.

La contrainte de cisaillement maximale vaut

$\tau_\mathrm{max} = \frac{\mathrm{M_t}}{\mathrm{I_G}} v = \frac{\mathrm{M_t}}{\left ( \frac{\mathrm{I_G}}{v} \right )}$

où v est le rayon extérieur de la pièce (D/2). La quantité (I_G/v ) est appelée module de torsion.

Unités

Grandeur	Unité internationale	Unité usuelle	Unité pour les calculs
Mt	Nm	Nm	Nmm
IG	m4	cm4	mm4
v	m	mm	mm
(IG/v )	m3	cm3	mm3
τ	Pa	MPa	MPa

Torsion non uniforme

La torsion s'exprime sous la forme d'un moment de torsion $\mathrm M_x$ agissant dans l'axe de la poutre. Sous l'effet de la torsion, les sections transversales de la poutre ne restent généralement pas planes (on doit abandonner l'hypothèse de Bernoulli) ; on dit qu'elles gauchissent. Lorsque leur gauchissement est libre, seules des contraintes tangentielles $\tau_v$ apparaissent et la poutre n'est soumise qu'à de la torsion uniforme (ou torsion de Saint-Venant).

Lorsque leur gauchissement est empêché (par exemple par un encastrement en rotation) ou que le moment de torsion n'est pas constant (provoquant un gauchissement variable d'une section transversale à l'autre), des contraintes normales $\sigma_w$ apparaissent en plus des contraintes de cisaillement et la barre est soumise à de la torsion non uniforme.

La torsion non uniforme est toujours accompagnée de la torsion uniforme. Le moment de torsion $\mathrm M_x$ peut donc se décomposer en la somme d'une part uniforme $\mathrm M_v$ et d'une part non uniforme $\mathrm M_w$.

Une section fermée ou trapue (compacte) travaille principalement en torsion uniforme ; dans le cas d'une poutre dont la section présente une symétrie de révolution (section circulaire ou annulaire par exemple), les contraintes de cisaillement varient de manière linéaire lorsque l'on s'éloigne de la fibre neutre.

Les sections ouvertes ou sans symétrie de révolution travaillent principalement en torsion non uniforme et le problème est plus complexe. En particulier, la contrainte à une surface libre (qui n'est pas en contact avec une autre pièce) est nécessairement dans le plan tangent à cette surface, et notamment la contrainte à un angle libre est nécessairement nulle.

Lorsqu'aucune part de torsion n'est prédominante, on parle de torsion mixte ; c'est le cas notamment des profilés laminés.

Voir aussi

• Théorie des poutres – Torsion
• Cisaillement
• Flexion
• Fonctionnement de l'automobile
• Module de Young
• Moment d'inertie
• Résistance des matériaux
• Tenseur des contraintes
• Traction
• Essai mécanique