Tenseur des déformations

Le tenseur des déformations est un tenseur symétrique d'ordre 2 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, c'est-à-dire que le tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de déformation.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le tenseur des déformations est relié au tenseur des contraintes par la loi de Hooke généralisée.

Définition de l'opérateur des déformations

Le tenseur des déformations vise à caractériser en un point la variation de longueur d'un segment suite à la transformation subie par le milieu. La déformation du milieu peut être décrite par la fonction (supposée suffisamment régulière) qui, à un point A du milieu, associe son transformé A' :

$\overrightarrow{OA'}=\Phi(A,t)$

Soit un segment AB qui se transforme en A' B'. Le tenseur des déformations permet de quantifer $\|\overrightarrow{A'B'}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2$. On a en effet :

$\overrightarrow{OA'} = \Phi(A,t)$

On peut donc écrire :

$\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OA'} + F \cdot \overrightarrow{AB} + o(\|\overrightarrow{AB}\|)$

où

$F = {\rm grad} (\Phi) = \frac{\partial\Phi}{\partial A}$

est le gradient de la transformation $\Phi$. D'où :

$\overrightarrow{A'B'} = F \cdot \overrightarrow{AB} + o(\|\overrightarrow{AB}\|)$

On obtient donc, au premier ordre :

$\|\overrightarrow{A'B'}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2 = \overrightarrow{AB} \left( F^T \cdot F - {\rm Id} \right) \overrightarrow{AB}$

On pose :

$E=\frac{1}{2}\left(F^T \cdot F-{\rm Id}\right)$

$E$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange. Il s'agit d'un tenseur symétrique réel, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Les directions propres sont appelées directions principales de déformation.

Si on introduit le vecteur déplacement

$u(A,t)=\overrightarrow{AA'} = \Phi(A,t) - \overrightarrow{OA}$

on obtient :

$F = {\rm Id} + \frac{\partial u}{\partial A}$

en notant $\frac{\partial u}{\partial A}$ la dérivée partielle de $u$ et donc :

$E= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial A}^T \cdot\frac{\partial u}{\partial A} + \frac{\partial u}{\partial A} +\frac{\partial u}{\partial A}^T \right)$

Cas des petites déformations

Tenseur des déformations linéarisé

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes du second ordre et on obtient le tenseur des déformations linéarisé :

$\varepsilon= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial A} +\frac{\partial u}{\partial A}^T \right)$

Sous forme de composantes dans une base orthonormée :

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )$

Interprétation des termes diagonaux

Les termes diagonaux $\varepsilon_{ii}$ sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe x_i). Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x₁, et intéressons-nous à la partie de la déformation également parallèle à x₁, que nous noterons [A'B' ]

L'allongement relatif vaut (exprimée en distances algébriques) :

$\frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}}$

Sachant que

$\overline{AA'} = u_1(A)$ et $\overline{BB'} = u_1(B)$

où $u_i$ est la composante de $u$ selon l'axe x₁, cet allongement vaut :

$\frac{\overline{A'A} + \overline{AB} + \overline{BB'}}{\overline{AB}} - 1 = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline{AB}}{\overline{AB}} - 1 = \frac{u_1(B)-u_1(A)}{\overline{AB}}$

On reconnaît un taux d'accroissement de la fonction $u_1$, et si l'on se place en petites déformations, on peut remplacement ce taux d'accroissement par la dérivée de $u_1$, ce qui donne :

$\frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}} \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_1} = \varepsilon_{11}$

De manière plus générale :

$\varepsilon_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )$

Coefficients dus au cisaillement

Les autres termes $\varepsilon_{ij}$ (i ≠ j) sont les $\gamma$, demi-variations de l'angle droit d'un petit volume de matière cubique avant déformation.

En effet, un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x₁ et [AD] est parallèle à x₂, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.

La tangente de l'angle $\gamma$ vaut :

$\tan(\gamma) = \frac{\overline{BB'}}{\overline{AB}}$.

Pour les petites déformations, on a

$\tan(\gamma) \simeq \gamma$

ainsi que

$\overline{BB'} = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}$

avec u₂(A) = 0. Ainsi,

$\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}$

Si l'on considère maintenant le segment [AD] :

$\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}$

Une rotation n'étant pas une déformation, on peut supposer que les deux angles $\gamma$ sont égaux, quitte à faire pivoter le losange et ainsi

$\gamma = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right ) = \varepsilon_{12}$

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Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle $\gamma$ défini vaut le double de l'angle défini ici.

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Variation relative de volume

Considérons un prisme élémentaire engendré par trois vecteurs $(e_{10},e_{20},e_{30})$. Sa transformée par $\Phi$ est le prisme engendré par $(e_1,e_2,e_3)$.

Soit V₀ celui du prisme initial et V le volume de la transformée.

On a, au premier ordre :

$V = (e_1 \wedge e_2) \cdot e_3 = (F(e_{10}) \wedge F(e_{20})) \cdot F(e_{30}) = \det(F) (e_{10} \wedge e_{20})\cdot e_{30} = \det(F) V_0$

La variation relative de volume est $\frac{V - V_0}{V} = \frac{\Delta V}{V_0} = \det(F) - 1$

Dans le cas des petites déformations, $F = {\rm Id} + \frac{\partial u}{\partial A}$ et det(F) - 1 est égal au premier ordre à la trace de $\frac{\partial u}{\partial A}$, qui est égale à la trace du tenseur $\varepsilon$ : $\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}$

On peut retrouver ce résultat en se plaçant dans la base des directions principales de déformation. Considèrons un cube d'arrête a. Après déformation on a un quasi-parallélépipède de volume :

$V = a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})$

alors que :

$V_0 = a^3$

ce qui donne :

$\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}$

comme on est en très faible déformation,

1 >> ε_ii >> ε_ii·ε_jj >> ε₁₁·ε₂₂·ε₃₃

d'où le résultat.

Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé

On dit qu'il y a cisaillement pur lorsque la trace est nulle, autrement dit lorsqu'il n'y a pas de variation de volume.

Voir aussi

Articles connexes

• Tenseur des constantes élastiques (ou des rigidités)
• Tenseur des souplesses

Liens externes

• Émile Mathieu, Traité de physique mathématique [lire en ligne], « Déformations très petites d'un corps solide. »  (sur Gallica)
• tenseurs contrainte/déformation - loi de comportement élastique isotrope, orthotrope manuel de référence du logiciel de calcul de structure ICAB Force