Module d'élasticité isostatique

Le module d'élasticité isostatique (bulk modulus en anglais) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique.

Généralement noté K (B en anglais), il permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations :

MODULE D'ÉLASTICITÉ ISOSTATIQUE de quelques matériaux
Air	101 kPa (isotherme) (142 kPa en adiabatique)
Eau	2.2 GPa (augmente avec la pression)
Verre	35 à 55 GPa
Acier	160 GPa
Diamant	442 GPa

$s = K . e \,$

où :

• $s=\sum_{i} \frac{1}{3}\sigma_{ii}$ est la contrainte isostatique (en unité de pression),
• $K\;$ est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression),
• $e=\sum_{i} \varepsilon_{ii}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}$ est le taux de déformation isostatique (sans dimension).

Il s'exprime, respectivement vis-à-vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par :

$K=\lambda+\frac{2}{3}\mu=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}$

Noter que :

• pour ν = 0.33 on a K = E
• pour ν → 0.5 on a K → ∞ (incompressibilité)

Les matériaux métalliques sont proches du premier cas (K ≈ E dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible (K >> E).

On peut aussi exprimer K en fonction des modules d'élasticité en traction E et en cisaillement G :

$\frac{1}{K} = \frac{9}{E} - \frac{3}{G}$

Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume :

$\Delta P = -K \cdot \frac{\Delta V}{V_0}$

C'est l'inverse du coefficient de compressibilité isotherme χ_T défini en thermodynamique par :

$\frac{1}{K} = \chi_T = -\frac{1}{V} \cdot \left ( \frac{\partial V}{\partial P} \right )_T$

Source

• P. Germain , Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie.
• G. Duvaut , Mécanique des milieux continus, 1990, Masson

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d’entre eux en utilisant ces formules.
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$