Module de relaxation

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En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.

Introduction[modifier | modifier le code]

La contrainte \sigma à un temps t ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

\sigma(t) = \eta \ \dot \gamma(t).

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation G(t) (ou E(t)) :

 \sigma(t) = \int_{-\infty}^{t} G(t-t') \dot\gamma(t') dt'.

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation G(t) vaut :

G(t)=G_0 \ e^{-t/\tau}

\tau = \frac \eta E est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

Annexe : grandeurs complexes[modifier | modifier le code]

Module complexe[modifier | modifier le code]

Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :

\gamma(t)=\gamma_0 \ e^{i\omega t}

ce qui amène à une contrainte complexe :

\sigma(t)=i\omega \gamma(t) \int_0^{\infty} G(x) exp(-i\omega x) dx = G^*(t) \gamma(t)

avec :

x=t-t' ;
G^*, le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :
G^*(\omega) = G'(\omega) + i G''(\omega)

où :

G' est le module de conservation ;
G'' est le module de perte.

Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :

\tan \delta = \frac {G''} {G'}

\delta est l'angle de phase ou de perte.

Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.

Viscosité complexe[modifier | modifier le code]

Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :

\sigma = \eta^*(\omega) \ \dot\gamma = (\eta'(\omega) - i \eta''(\omega)) \ \dot\gamma

avec :

\eta' = \frac{G''}{\omega}, associée au module de perte,
\eta'' = \frac{G'}{\omega}, associée au module de conservation.

Voir aussi[modifier | modifier le code]


Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}