Coefficient de Poisson

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Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Illustration pour coefficient de Poisson.PNG

Définition[modifier | modifier le code]

 \nu =
 \frac\mbox{contraction transversale unitaire}\mbox{allongement axial unitaire} = \frac{(l_0-l)/l_0}{(L-L_0)/L_0}

Le coefficient de Poisson \nu fait partie des constantes élastiques. Il est compris entre -1 et 0,5 : 0,5 est la valeur limite pour un corps chauffé devenant alors liquide (incompressible). Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0,3. Il faut signaler l'existence de matériaux à coefficient de Poisson voisin de zéro, et on a même pu réaliser artificiellement des matériaux à coefficient de Poisson négatif (on parle alors parfois de matériaux auxétiques).

Relations[modifier | modifier le code]

Cas d'un matériau isotrope[modifier | modifier le code]

  • Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :
\frac {\Delta V} {V_0} = (1-2\nu)\frac {\Delta L} {L_0}


K=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}

Cette relation montre que \nu doit rester inférieur à 1/2 pour que le module d'élasticité isostatique reste positif (sinon le matériau gonflerait dès qu'on essayerait de l'étirer). On note également les valeurs particulières de ν :

  • pour ν = 0,33 on a K = E.
  • pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)


E = 2(1+\nu)\cdot G.

Cette relation met en évidence le fait que \nu ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait!)

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)[modifier | modifier le code]

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

\frac{E_1}{\nu_{12}}=\frac{E_2}{\nu_{21}}

E_1 et E_2 sont les modules de Young des matériaux et \nu_{21} est le coefficient secondaire de Poisson.

Quelques valeurs numériques de coefficients de Poisson[modifier | modifier le code]

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité!

Métaux purs
Matériaux Coef
Aluminium (Al)  0,346
Béryllium (Be)  0,032
Bore (B)  0,21
Cuivre (Cu)  0,33
Fer (Fe)  0,21 - 0,259
Magnésium (Mg)  0,35
Or (Au)  0,42
Plomb (Pb)  0,44
Titane (Ti)  0,34
Alliages
Matériaux Coef
Acier de construction  0,27 - 0,30
Acier inoxydable  0,30 - 0,31
Fontes  0,21 - 0,26
Laiton  0,37
Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux Coef
Argile humide  0,40 - 0,50
Béton  0,20
Sable  0,20 - 0,45
Carbure de silicium (SiC)  0,17
Si3N4  0,25
Verre  0,18 - 0,3
Polymères, fibres
Matériaux Coef
Caoutchouc   0,5
Liège   0,0
Mousse  0,10 - 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)  0,40 - 0,43

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}