Coefficient de Poisson

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Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Définition

$\nu = \frac\mbox{contraction transversale unitaire}\mbox{allongement axial unitaire} = \frac{(l_0-l)/l_0}{(L-L_0)/L_0}$

Le coefficient de Poisson fait partie des constantes élastiques. Il est compris entre -1 et 0,5. Les valeurs expérimentales obtenues dans le cas d'un matériau parfaitement isotrope sont très proches de la valeur théorique (1/4). Pour un matériau quelconque, on obtient en moyenne 0,3. Il existe également des matériaux à coefficient de Poisson négatif : on parle alors parfois de matériaux auxétiques.

Relations

Cas d'un matériau isotrope

• Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :

$\frac {\Delta V} {V_0} = (1-2\nu)\frac {\Delta L} {L_0}$

Démonstration

Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial $V_0=L_0^3=l_0^3$, et de volume final $V=L \cdot l^2$.
La loi de Poisson s'écrit alors :

$\nu = \frac{(L_0-l)/L_0}{(L-L_0)/L_0} \Rightarrow l=L_0-\nu\Delta L$

D'où le volume final du cube :

$V=L.l^2=L(L_0-\nu\Delta L)^2=L.L_0^2-2\nu\Delta L L_0 L+L \nu^2\Delta L^2$

en divisant cette relation par le volume initial $V_0=L_0^3$:

$\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3}$

On fait maintenant apparaître l'expression $\frac {\Delta V} {V_0}$:

$\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{V-V_0+V_0}{V_0} = \dfrac{V-V_0}{V_0} + 1 = \dfrac{\Delta V}{V_0} + 1$

D'où:

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3} -1$

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{\Delta L}{L_0} - 2\nu\dfrac{\Delta L L}{L_0^2} + \nu^2\dfrac{\Delta L^2 L}{L_0^3}$

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{\Delta L}{L_0}(1 - 2\nu\dfrac{L}{L_0} + \nu^2\dfrac{\Delta L L}{L_0^2})$

L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre. En approximant $\dfrac{L}{L_0}=1$, on obtient:

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = (1 - 2\nu)\dfrac{\Delta L}{L_0}$

• Le module d'élasticité isostatique ($K$) est lié au Module de Young ($E$) par le coefficient de Poisson au travers de la relation :

$K=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}$

Cette relation montre que $\nu$ doit rester inférieur à 1/2 pour que le module d'élasticité isostatique reste positif (sinon le matériau gonflerait dès qu'on essayerait de le comprimer). On note également les valeurs particulières de ν :

• pour ν = 0,33 on a K = E.
• pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)

• Avec le module de Young ($E$) exprimé en fonction du module de cisaillement ($G$) et de $\nu$ :

$E = 2(1+\nu)\cdot G$.

Cette relation met en évidence le fait que $\nu$ ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait!)

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

$\frac{E_1}{\nu_{12}}=\frac{E_2}{\nu_{21}}$

Où $E_1$ et $E_2$ sont les modules de Young des matériaux et $\nu_{21}$ est le coefficient secondaire de Poisson.

Quelques valeurs numériques de coefficients de Poisson

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité!

Métaux purs Matériaux Coef Aluminium (Al)  0,33 Béryllium (Be)  0,032 Bore (B)  0,21 Cuivre (Cu)  0,33 Fer (Fe)  0,21 - 0,259 Magnésium (Mg)  0,35 Or (Au)  0,42 Plomb (Pb)  0,44 Titane (Ti)  0,34

Alliages Matériaux Coef Acier de construction  0,27 - 0,30 Acier inoxydable  0,30 - 0,31 Fontes  0,21 - 0,26 Laiton  0,37

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux Matériaux Coef Argile humide  0,40 - 0,50 Béton  0,20 Sable  0,20 - 0,45 Carbure de silicium (SiC)  0,17 Si3N4  0,25 Verre  0,18 - 0,3 Polymères, fibres Matériaux Coef Caoutchouc  ~ 0,5 Liège  ~ 0,00 Mousse  0,10 - 0,40 Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)  0,40 - 0,43

Articles connexes

• Auxétisme
• Siméon Denis Poisson

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d’entre eux en utilisant ces formules.
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$