Module de Young

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Diagramme contrainte-déformation d'un matériau ductile.
Un module élastique peut être déterminé à partir de la géométrie, de la raideur et de l’angle de phase de l’échantillon.

Le module de Young ou module d’élasticité (longitudinale) ou encore module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et le début de la déformation d'un matériau élastique isotrope.

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. La loi d'élasticité est la loi de Hooke :

\sigma = E \ \varepsilon

où :

Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module de Young c'est la pente initiale du diagramme de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium, le diamant, sont des matériaux très rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins. Les matières plastiques et organiques, les mousses sont généralement peu rigides (= flexibles / souples).

N. B. Ne pas confondre :

  • rigidité et résistance : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par sa limite d'élasticité et/ou sa résistance à la traction ;
  • rigidité et raideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module de Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur[1]. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les produits et les constructions : une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ;
  • rigidité et dureté : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Le tenseur des rigidités généralise le module de Young aux matériaux anisotropes.

Unités[modifier | modifier le code]

D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale est donc le pascal (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé en gigapascals (GPa) ou mégapascals (MPa).

Expressions théoriques[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un matériau cristallin et certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à[2] :

E = E_0 = \frac{m^4 q_e^{10}}{\hbar^8}

q_e^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} et où \hbar=\frac{h}{2 \pi} est la constante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser soit :

  • comme E_1 = E_0/(16 \pi^2), soit
  • comme E_2 = E_0/64 \pi^6,

les ordres de grandeur de E_1 ou E_2 sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, c'est l'agitation thermique qui « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai de fluage) :

  • lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente[réf. nécessaire] ;
  • lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue[réf. nécessaire].

Relations[modifier | modifier le code]

Avec le module de cisaillement (G) et le coefficient de Poisson (\nu) :

E = 2(1+\nu)\cdot G.

Avec \lambda et \mu appelées coefficients de Lamé :

E = \frac{(3{\lambda}+2{\mu}){\mu}}{{\lambda}+{\mu}}.

Les méthodes de mesure du module de Young[modifier | modifier le code]

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young E. Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

Article connexe : Méthode d'Oberst.

On peut aussi mesurer la vitesse du son dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante :

V_{\rm son} \propto \sqrt{\frac{E}{\rho}}.

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du coefficient de Poisson.

Le module de Young augmente avec la vitesse de déformation. Voir aussi Principe d'équivalence temps-température.

Le module de Young complexe peut être déterminé par DM(T)A.

Quelques valeurs numériques de modules de Young[modifier | modifier le code]

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre 10 kPa (mousses) et 1 000 GPa (céramiques techniques).

Métaux purs
Matériaux Module (GPa)
Aluminium (Al) 69
Argent (Ag) 83
Baryum (Ba) 13
Béryllium (Be) 240
Bismuth (Bi) 32
Cadmium (Cd) 50
Césium (Cs) 1,7
Chrome (Cr) 289
Cobalt (Co) 209
Cuivre (Cu) 124
Étain (Sn) 41,5
Fer (Fe) 196
Germanium (Ge) 89,6
Indium (In) 11
Iridium (Ir) 528
Lithium (Li) 4,9
Magnésium (Mg) 45
Manganèse (Mn) 198
Molybdène (Mo) 329
Nickel (Ni) 214
Niobium (Nb) 105
Or (Au) 78
Palladium (Pd) 121
Platine (Pt) 168
Plomb (Pb) 18
Plutonium (Pu) 96
Rhodium (Rh) 275
Rubidium (Rb) 2,4
Ruthénium (Ru) 447
Scandium (Sc) 74
Sélénium (Se) 10
Sodium (Na) 10
Tantale (Ta) 186
Titane (Ti) 114
Tungstène (W) 406
Uranium (U) 208
Vanadium (V) 128
Zinc (Zn) 78
Zirconium (Zr) 68
Alliages
Matériaux Module (GPa)
Acier de construction 210
Acier à ressorts 220
Acier inoxydable 18-10 203
Bronze (cuivre + 9 à 12 % d'étain) 124
Bronze au béryllium 130
Cuivre laminé U4 (Recuit) 90
Cuivre laminé U4 (Écroui dur) 150
Duralumin AU4G 75
Fontes 83 à 170
Hastelloy B2 (Ni + Mo) 217
Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo) 206
Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe) 212 à 218
Invar 140
Laiton (Cu + Zn) 100 à 130
Monel 400 (Ni + Cu) 173
Nimonic 90 (Ni + Cr + Co) 213 à 240
Nispan (Ni + Cr + Ti) 165 à 200
Phynox (Co + Cr + Ni + Mo) 203
Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux Module (GPa)
Alumine (Oxyde d'aluminium Al2O3) 390
Arsenic (As) 8
Arséniure de gallium (AsGa) 85,5
Béton 20 à 50
Brique 14
Calcaire (Carbonate de calcium CaCO3, pierres) 20 à 70
Carbure de chrome (Cr3C2) 373
Carbure de silicium (SiC) 450
Carbure de titane (TiC) 440
Carbure de tungstène (WC) 650
Carbure de zirconium (ZrC) 380 à 440
Diamant (C) 1 000
Glace (H2O) 9,3
Graphite 30
Granite 60
Marbre 26
Mullite (Al6Si2O13) 145
Neige (Glace H2O + air) 0,0002 à 0,015
Oxyde de béryllium (BeO) 30
Oxyde de magnésium (MgO) 250
Oxyde de zirconium (ZrO) 200
Saphir 420
Silice (Oxyde de silicium SiO2) 107
Titanate d'aluminium (Ti3Al) 140
Titanate de baryum (BaTiO3) 67
Verre 69
Bois
Matériaux Module (GPa)
Acajou (Afrique) 12
Bambou 20
Bois de rose (Brésil) 16
Bois de rose (Inde) 12
Chêne 12
Contreplaqué glaw 12,4
Épicéa 10 à 13
Érable 10
Frêne 10
Papier 3 à 4
Séquoia 9,5

N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de la densité (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur des fibres, …).

Polymères, fibres
Matériaux Module (GPa)
Caoutchouc 0,001 à 0,1
Fibre de carbone haut module 640
Fibre de carbone haute résistance 240
Kevlar 34,5
Nanotubes (Carbone) 1 100
Nylon 2 à 5
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle) 2,38
Polyamide 3 à 5
Polycarbonate 2,3
Polyéthylène 0,2 à 0,7
Polystyrène 3 à 3,4
Résine époxyde (durcie) 3,5
Biomatériaux
Matériaux Module (GPa)
Bec de poussin 50
Cartilage 0,024
Cheveu 10
Collagène 0,006
laine 14
Piquant d'oursin 15 à 65
Radius 18,6
Soie d'araignée 25
Soie du ver à soie 17
Vertèbre cervicale 0,23
Vertèbre lombaire 0,16

Utilisations[modifier | modifier le code]

En médecine, la mesure des variations du module de Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de 2e génération).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Sophie Trachte, Matériau, matière d'architecture soutenable : Choix responsable des matériaux de construction..., Presse universitaire de Louvain, coll. « Thèse »,‎ juin 2012, 534 p. (ISBN 2875580817), p. 75
  2. Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »],‎ 1998 [détail des éditions], chap. 3.

Sources[modifier | modifier le code]

  • Ch. Kittel , Physique du solide, éd. Dunod, chap. Constantes d'élasticité.
  • Michael F. Ashby, David R. H. Jones, Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod, chap. 3 : Les constantes d'élasticité.


Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}