Loi de Hooke

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La loi de Hooke permet d'évaluer le comportement des solides soumis à une déformation de faible amplitude. C'est une loi élastique linéaire.

Historique[modifier | modifier le code]

Cette loi de comportement a été énoncée par Robert Hooke, par la phrase en latin :

ut tensio sic vis (en 1678 ; expériences datant de 1675)

ce qui signifie « telle extension, telle force », ou bien en termes modernes « l'allongement est proportionnel à la force ». Hooke désirait obtenir une théorie des ressorts, en soumettant ces derniers à des forces croissantes successives.

Matière soumise à de la traction/compression[modifier | modifier le code]

Cylindre soumis à de la traction/compression

Le mode de déformation le plus simple est la traction (étirement) ou la compression selon un axe. Pour de petites déformations, la variation de longueur \Delta \ell est proportionnelle à la force de traction/compression \mathrm{F} :

\Delta \ell \propto \mathrm{F}

que l'on écrit plus volontiers

\mathrm{F} = k \times \Delta \ell

k est la raideur de la pièce. C'est en fait la loi des ressorts.

Afin de s'abstraire de la forme de la pièce, et notamment de ses dimensions, on divise la force \mathrm{F} par l'aire \mathrm{S} de la section droite de la pièce, on appelle ce ratio contrainte \sigma. La contrainte est une grandeur homogène à une pression et s'exprime en Pa.

\sigma = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{S}}

et on divise l'allongement \Delta \ell par la longueur initiale \ell_0, grandeur que l'on appelle déformation ou allongement relatif \varepsilon (sans dimension)

\varepsilon = \frac{\Delta \ell}{\ell_0} = \frac{\ell-\ell_0}{\ell_0}

La loi de Hooke s'exprime alors sous la forme :

\sigma = \mathrm{E} \cdot \varepsilon

\mathrm{E} est le module de Young ou module d'élasticité, une caractéristique du matériau ; c'est l'équivalent en mécanique des milieux continus de la raideur d'un ressort.

Cette loi est valable pour l'étirement ou la compression d'une pièce, les autres dimensions étant libres de s'étendre.

Unités utilisées
Grandeur uSI Unités
conventionnelles
\sigma Pa kPa, MPa, GPa
\mathrm{E} Pa MPa, GPa
\varepsilon 1  %

De sa loi deux aspects sont importants :

  1. La linéarité,
  2. L'élasticité.

Ces deux aspects ne sont pas identiques, la linéarité exprime que l'allongement est proportionnel à la force, l'élasticité exprime que cet effet est réversible et permet de revenir à l'état initial tel un ressort soumis à de faible forces. L'élasticité a une limite, qui est indépendante de la notion de linéarité, Hooke n'a considéré que la phase élastique et linéaire, donc proportionnelle et réversible.

La linéarité provient du fait que l'on est en faible déformation, on peut donc faire une approximation linéaire de la loi réelle (développement limité au premier ordre). Il s'agit en fait d'approcher le potentiel interatomique par une parabole, voir l'article Déformation élastique > Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?.

Dans le cas d'une pièce de forme complexe, la loi de déformation globale n'a aucune raison d'être linéaire, mais par contre, chaque élément infinitésimal de matière se déforme lui de manière linéaire.

Cisaillement[modifier | modifier le code]

Cisaillement

La loi de Hooke est une loi de déformation en traction/compression ; cependant, en cisaillement, on a une loi similaire :

\tau = \mathrm{G} \times \gamma

Unités utilisées
Grandeur uSI Unités
conventionnelles
\tau Pa MPa
\mathrm{G} Pa MPa, GPa
\gamma rad °


Loi de Hooke généralisée[modifier | modifier le code]

Si l'on s'intéresse à un petit élément de matière subissant de petites déformations, alors sa loi de déformation est linéaire et réversible quelle que soit la sollicitation. On peut donc généraliser la loi de Hooke, en l'exprimant sous une forme matricielle. On définit la contrainte et la déformation localement par un tenseur 3×3, le tenseur des contraintes [σij] et le tenseur des déformations [εij].

Cas général[modifier | modifier le code]

Le comportement élastique du matériau est modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl ] contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. On a :

\sigma_{ij} = \mathrm{C}_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein).

Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur Cijkl peut être représenté sous la forme d'une matrice 6×6, où les directions représentent les directions de la déformation.


\begin{pmatrix}
\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\mathrm{C}_{1111} & \mathrm{C}_{1122} & \mathrm{C}_{1133}
 & \mathrm{C}_{1123} & \mathrm{C}_{1113} & \mathrm{C}_{1112} \\
\mathrm{C}_{2211} & \mathrm{C}_{2222} & \mathrm{C}_{2233}
 & \mathrm{C}_{2223} & \mathrm{C}_{2213} & \mathrm{C}_{2212} \\
\mathrm{C}_{3311} & \mathrm{C}_{3322} & \mathrm{C}_{3333}
 & \mathrm{C}_{3323} & \mathrm{C}_{3313} & \mathrm{C}_{3312} \\
\mathrm{C}_{2311} & \mathrm{C}_{2322} & \mathrm{C}_{2333}
 & \mathrm{C}_{2323} & \mathrm{C}_{2313} & \mathrm{C}_{2312} \\
\mathrm{C}_{1311} & \mathrm{C}_{1322} & \mathrm{C}_{1333}
 & \mathrm{C}_{1323} & \mathrm{C}_{1313} & \mathrm{C}_{1312} \\
\mathrm{C}_{1211} & \mathrm{C}_{1222} & \mathrm{C}_{1233}
 & \mathrm{C}_{1223} & \mathrm{C}_{1213} & \mathrm{C}_{1212} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \\
\end{pmatrix}

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée notation de Voigt, avec les axes de compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6.


Matériau isotrope[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson ν, la loi de Hooke devient :

\sigma_{ij} = \frac{\mathrm{E}}{1+\nu } \left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu }\varepsilon_{kk} \delta _{ij}\right)

avec

  • δij le symbole de Kronecker et
  • εkk la notation abrégée de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur).

On peut aussi l'écrire sous forme matricielle :

\boldsymbol{\sigma} = \frac{\mathrm{E}}{1+\nu }\left( \boldsymbol{\varepsilon} +\frac{\nu }{1-2\nu }\mathrm{Tr}\left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I \right)

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner :

\varepsilon _{ij}=\frac{1}{\mathrm{E}} \left [ \left( 1+\nu \right) \sigma _{ij} - \nu\sigma_{kk} \delta _{ij} \right ]

ou, sous forme matricielle (en appliquant la trace à la relation plus haut):

\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{\mathrm{E}} \left ( ( 1+\nu ) \boldsymbol{\sigma} - \nu \mathrm{Tr} ( \boldsymbol{\sigma} ) \mathbf I \right )

La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes)

\begin{pmatrix}
\varepsilon _{11} = \frac {1} {\mathrm{E}} \left( \sigma_{11} - \nu \left( \sigma_{22} + \sigma_{33} \right) \right) &
\varepsilon _{12} = \frac {1 + \nu} {\mathrm{E}} \sigma _{12} &
\varepsilon _{13} = \frac {1 + \nu} {\mathrm{E}} \sigma _{13}, \\[0.5em]
\cdots & \varepsilon _{22} = \frac {1} {\mathrm{E}} \left( \sigma_{22} - \nu \left( \sigma_{11} + \sigma_{33} \right) \right) &
\varepsilon _{23} = \frac {1 + \nu} {\mathrm{E}} \sigma _{23}, \\[0.5em]
\cdots & \cdots & \varepsilon _{33} = \frac {1} {\mathrm{E}} \left( \sigma_{33} - \nu \left( \sigma_{11} + \sigma_{22} \right) \right) \\
\end{pmatrix}

montre bien la signification physique du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν.

Utilisation culturelles[modifier | modifier le code]

Ut tensio sic vis est la devise de l'École polytechnique de Montréal.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}