Arc cosinus

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Représentation graphique

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est en général notée[1] Arc cos ou Acos en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arccos[2]), et cos−1, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne.

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0, π], et dans un repère cartésien (ortho)normé du plan, la courbe représentative de Arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la réflexion d'axe la droite d'équation y=x [N.B. Dans la représentation graphique ci-contre, le repère n'est pas normé]

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arccos est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie

 \mathrm{Arccos}'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.

Forme intégrale indéfinie[modifier | modifier le code]

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

\mathrm{Arccos}(x)=\int_1^x-\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt.

Primitives[modifier | modifier le code]

Les primitives de l'arc cosinus s'obtiennent par intégration par parties :

 \int \mathrm{Arccos}(x)~\mathrm dx = x\, \mathrm{Arccos}(x) - \sqrt{1-x^2} + C.

Relation entre Arc cosinus et Arc sinus[modifier | modifier le code]

Arccos(x) (bleu) et Arcsin(x) (rouge)
 \mathrm{Arccos}(x) + \mathrm{Arcsin}(x) = \frac{\pi}2.
Preuve par la dérivée.

Soit f la fonction qui à x dans [–1, 1] associe \mathrm{Arccos}(x) + \mathrm{Arcsin}(x). Sa dérivée, définie sur ]–1, 1[, est nulle :

\forall x \in \left]-1\, ,1\right[, f'(x) = \mathrm{Arccos}'(x) + \mathrm{Arcsin}'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0

donc f est constante sur ]–1, 1[, et même sur [–1, 1] par continuité. Donc :

\forall x\in[-1,1],f(x)=f(0)=\mathrm{Arccos}(0) + \mathrm{Arcsin}(0)=\frac{\pi}2+0=\frac{\pi}2.

Preuve trigonométrique.

Pour tout x dans [–1, 1], on pose \alpha=\frac{\pi}2-\mathrm{Arccos}(x).

On calcule \sin(\alpha)=\sin\left(\frac{\pi}2-\mathrm{Arccos}(x)\right)=\cos(\mathrm{Arccos}(x))=x.

Or \mathrm{Arccos}(x)\in[0,\pi] donc \alpha\in\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right].

Donc \alpha=\mathrm{Arcsin}(x).

Donc \mathrm{Arccos}(x)+\mathrm{Arcsin}(x)=\frac{\pi}2-\alpha+\alpha=\frac{\pi}2.

Forme logarithmique[modifier | modifier le code]

On peut exprimer la fonction arc cosinus avec un logarithme complexe :

\mathrm{Arccos}(x)=-\mathrm i\,\ln\left(x+\mathrm i\,\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{\pi}2\,+\mathrm i\ln\left(\mathrm i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}2-\mathrm{Arcsin}(x).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
  2. Extraits de la norme à l'usage des CPGE, p.6