Arc sinus

Fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Notation	$\arcsin(x)$
Réciproque	$\sin(x)$ sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
Dérivée	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Primitives	$x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1, 1]
Ensemble image	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
Parité	impaire

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre $-{\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {\pi }{2}}$.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin ou Asin en notation française, sin⁻¹, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie $\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$.

Développement en série entière

Si $|z|\leq 1$,

${\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Démonstration

Le développement de la dérivée est :

${\begin{aligned}\arcsin '(z)&=(1-z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-z^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-z^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-z^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}z^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}z^{6}+\dots ,\end{aligned}}$

d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$.

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$.

Relation entre arc sinus et arc cosinus

arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)

Pour tout réel x entre –1 et 1 : $\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$.

Forme logarithmique

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

$\arcsin x=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$.

Voir aussi

Articles connexes

• Arc cosinus
• Fonction circulaire réciproque

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83