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En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude porte sur la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du 19è siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au 20è siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.

Si la théorie des anneaux porte sur les anneaux en général, les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des géométries non commutatives et des groupes quantiques.

Histoire

La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les quaternions ou les corps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombre premiers dans certains corps de nombres.^[1]

L'étude des polynômes, motivée par la géométrie algébrique naissante, pousse Richard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entres ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Il emprunte le mot, Zahlring, qui désigne surtout de manière informelle une collection de nombres, à David Hilbert qui venait de l'utiliser dans un ouvrage sur la théorie des nombres^[2].

Suivant la démarche axoimatique en vogue au début du 20è siècle, une première définition abstraite d'un anneau est donnée en 1914 par Abraham Fraenkel^[3]^[4], qui sera complétée en 1917 par Masazo Sono pour donner la définition actuelle d'anneau et d'anneau commutatif. Mais c'est indéniablement la mathématicienne Emmy Noether qui a le plus fait avancer la théorie naissante des anneaux abstraits, introduisant dans un article de 1921 la plupart des résultats fondamentaux du domaine et distinguant de nombreuses classes importantes d'anneaux, tels que les anneaux noethériens et les anneaux de Dedekind.

Désormais sans lien nécessaire avec les nombres, la théorie des anneaux prend son essor comme théorie indépendante. Lasker et Macauley montrent alors une correspondance entre les variétés algébriques, définies par un système d'équations polynomiales, et les anneaux construits à partir des idéaux maximaux tirés de ces équations. Ils montrent qu'il est ainsi possible de résoudre de nombreux problèmes de nature a priori géométrique en étudiant des idéaux d'anneaux, un problème a priori algébrique. Cela a inspiré l'idée moderne que toute la géométrie peut être comprise comme une discussion sur différents types d'idéaux.

Définition axiomatique

La définition la plus courante d'un anneau est la suivante : il s'agit d'un ensemble $A$ tel que

$A$ est un groupe commutatif vis-à-vis d'une opération généralement notée + et appelée « addition » ;
$A$ est doté d'une opération supplémentaire de « multiplication » généralement notée au moyen de la concaténation ;
La multiplication est distributive sur l'addition, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in A$ on a $a(b+c)=ab+ac$ et $(a+b)c=ac+bc$ .

Dans certains contextes, certains auteurs préfèrent considérer des « anneaux sans unité » (c'est-à-dire que $A$ est uniquement un semigroupe), appelés pseudo-anneaux.

En algèbre commutative, on ajoute l'axiome suivant :

$A$ est son propre centre, c'est-à-dire que pour tout $a,b\in A$ on a $ab=ba$ .

Dans ce cas, on parle d'anneau commutatif.

Exemples

La notion d'anneau est centrale en mathématiques et se manifeste donc dans de nombreux contextes. Quelques exemples importants sont :

L'ensemble $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication, est un anneau commutatif.
Les ensembles $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ sont des anneaux commutatifs.
Si $A$ est un anneau, l'ensemble des polynômes à coefficients dans $A$ forme lui-même un anneau noté $A[X]$ .
Si $A$ est un anneau, l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans $A$ est un anneau (pour l'addition et la multiplication matricielle). Cet anneau de matrices est généralement non commutatif, même si $A$ est commutatif.
Si $X$ est un espace topologique, et $U$ est un ouvert de $X$ , l'ensemble des fonctions continues de $U$ à valeurs dans un anneau $A$ , dénoté $C(U,A)$ , est lui même un anneau (pour l'addition et la composition de fonctions). Cet anneau n'est généralement pas commutatif, même si $A$ est commutatif.

Théorie des anneaux commutatifs

TBD

Représentation des anneaux

TBD

Géométrie non commutative

TBD

Notes et références

↑ (en) Israel Kleiner, « The Genesis of the Abstract Ring Concept », The American Mathematical Monthly, vol. 103, n^o 5,‎ 1996, p. 417–424 (DOI 10.2307/2974935, lire en ligne, consulté le 1^er mars 2018)
↑ (de) David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlin, Heidelberg, 1932 (ISBN 9783642505218 et 9783642508318, DOI 10.1007/978-3-642-50831-8_7, lire en ligne), p. 63–363
↑ (de) Abraham A. Fraenkel, « Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen », Journal für die reine und angewandte Mathematik vol. 145,‎ 1915, p. 139
↑ Abraham A. Fraenkel, Recollections of a Jewish mathematician in Germany, 2016, p. 213 (extrait dans Google Livres).

Portail des mathématiques

[1] (en) Israel Kleiner, « The Genesis of the Abstract Ring Concept », The American Mathematical Monthly, vol. 103, n^o 5,‎ 1996, p. 417–424 (DOI 10.2307/2974935, lire en ligne, consulté le 1^er mars 2018)

[2] (de) David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlin, Heidelberg, 1932 (ISBN 9783642505218 et 9783642508318, DOI 10.1007/978-3-642-50831-8_7, lire en ligne), p. 63–363

[3] (de) Abraham A. Fraenkel, « Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen », Journal für die reine und angewandte Mathematik vol. 145,‎ 1915, p. 139

[an1915-4] Abraham A. Fraenkel, Recollections of a Jewish mathematician in Germany, 2016, p. 213 (extrait dans Google Livres).

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 {{ébauche|algèbre}}
+En [[mathématiques]], la '''théorie des anneaux''' porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude porte sur la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du 19è siècle, notamment sous l'impulsion de [[David Hilbert]] et [[Emmy Noether]], la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au 20è siècle, au travers de la [[géométrie algébrique]] et de la [[théorie des nombres]] notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en [[cryptographie]] et en [[physique]].
-En [[mathématiques]], la '''théorie des anneaux''' ou '''algèbre non commutative''' traite d'[[anneau unitaire|anneaux]] quelconques, par opposition à l'[[algèbre commutative]].
+Si la théorie des anneaux porte sur les anneaux ''en général'', les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'[[algèbre commutative]]. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des [[Géométrie non commutative|géométries non commutatives]] et des [[Groupe quantique|groupes quantiques]].
 == Histoire ==
+La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les [[Quaternion|quaternions]] ou les [[corps de nombres]]). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombre premiers dans certains corps de nombres.<ref>{{Article|langue=Anglais|auteur1=|prénom1=Israel|nom1=Kleiner|titre=The Genesis of the Abstract Ring Concept|périodique=The American Mathematical Monthly|volume=103|numéro=5|date=1996|issn=|doi=10.2307/2974935|lire en ligne=http://www.jstor.org/stable/2974935|consulté le=2018-03-01|pages=417–424}}</ref>
-L'étude des anneaux trouve sa source dans la théorie des [[polynôme formel|polynôme]]s et la théorie des [[entier algébrique|entiers algébriques]].
+L'étude des polynômes, motivée par la [[géométrie algébrique]] naissante, pousse [[Richard Dedekind]] à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entres ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Il emprunte le mot, ''Zahlring,'' qui désigne surtout de manière informelle une collection de nombres, à [[David Hilbert]] qui venait de l'utiliser dans un ouvrage sur la théorie des nombres<ref>{{Ouvrage|langue=de|prénom1=David|nom1=Hilbert|titre=Gesammelte Abhandlungen|passage=63–363|éditeur=Springer, Berlin, Heidelberg|date=1932|isbn=9783642505218|isbn2=9783642508318|doi=10.1007/978-3-642-50831-8_7|lire en ligne=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-50831-8_7|consulté le=2018-03-01}}</ref>.
-[[Richard Dedekind]] a introduit le concept d'anneau.
+Suivant la démarche axoimatique en vogue au début du 20è siècle, une première définition abstraite d'un anneau est donnée en [[1914 en science|1914]] par [[Abraham Adolf Fraenkel|Abraham Fraenkel]]<ref>{{Article|langue=Allemand|auteur1=Abraham A. Fraenkel|titre=Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen|périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik vol. 145|date=1915|issn=|lire en ligne=|pages=p. 139}}</ref><ref name="an1915" />, qui sera complétée en 1917 par Masazo Sono pour donner la définition actuelle d'anneau et d'anneau commutatif. Mais c'est indéniablement la mathématicienne [[Emmy Noether]] qui a le plus fait avancer la théorie naissante des anneaux abstraits, introduisant dans un article de 1921 la plupart des résultats fondamentaux du domaine et distinguant de nombreuses classes importantes d'anneaux, tels que les [[Anneau noethérien|anneaux noethériens]] et les [[Anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]].
-Le terme « anneau » (plus précisément le terme allemand ''Zahlring'') a été utilisé en premier par [[David Hilbert]] dans l' article de [[1897 en science|1897]] ''Die Theorie der algebraischen Zahlkörper'', Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung, Vol. 4,.
+Désormais sans lien nécessaire avec les nombres, la théorie des anneaux prend son essor comme théorie indépendante. Lasker et Macauley montrent alors une correspondance entre les [[Variété algébrique|variétés algébriques]], définies par un système d'équations polynomiales, et les anneaux construits à partir des [[Idéal maximal|idéaux maximaux]] tirés de ces équations. Ils montrent qu'il est ainsi possible de résoudre de nombreux problèmes de nature a priori géométrique en étudiant des idéaux d'anneaux, un problème a priori algébrique. Cela a inspiré l'idée moderne que toute la géométrie peut être comprise comme une discussion sur différents types d'idéaux.
-La première définition axiomatique d'un anneau fut donnée dans un article écrit en [[1914 en science|1914]]<ref name=an1915/> par [[Abraham Adolf Fraenkel]].
+== Définition axiomatique ==
-En [[1921 en science|1921]], un article d'[[Emmy Noether]] donna la première fondation axiomatique de la théorie des [[anneau commutatif|anneaux commutatifs]].
+La définition la plus courante d'un anneau est la suivante : il s'agit d'un [[ensemble]] <math>A</math> tel que
+* <math>A</math> est un [[Groupe abélien|groupe commutatif]] vis-à-vis d'une opération généralement notée + et appelée « addition » ;
+* <math>A</math> est doté d'une opération supplémentaire de « multiplication » généralement notée au moyen de la concaténation ;
+* La multiplication est distributive sur l'addition, c'est-à-dire que pour tout <math>a, b, c \in A</math> on a <math>a(b+c) = ab + ac</math> et <math>(a+b)c = ac + bc</math>.
+Dans certains contextes, certains auteurs préfèrent considérer des « anneaux sans unité » (c'est-à-dire que <math>A</math> est uniquement un [[semigroupe]]), appelés [[Pseudo-anneau|pseudo-anneaux]].
+En [[algèbre commutative]], on ajoute l'axiome suivant :
-== Théorie ==
+* <math>A</math> est son propre [[Centre d'un groupe|centre]], c'est-à-dire que pour tout <math>a, b \in A</math> on a <math>ab = ba</math>.
-{{...}}
+Dans ce cas, on parle d'anneau commutatif.
-== Bibliographie ==
+== Exemples ==
+La notion d'anneau est centrale en mathématiques et se manifeste donc dans de nombreux contextes. Quelques exemples importants sont :
-=== Publications citées dans la section historique ===
+* L'ensemble <math>\mathbb Z</math> des entiers relatifs, muni  des opérations usuelles d'addition et de multiplication, est un anneau commutatif.
-Par ordre chronologique
+* Les ensembles <math>\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C</math> sont des anneaux commutatifs.
+* Si <math>A</math> est un anneau, l'ensemble des polynômes à coefficients dans <math>A</math> forme lui-même un anneau noté <math>A[X]</math>.
+* Si <math>A</math> est un anneau, l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans <math>A</math> est un anneau  (pour l'addition et la multiplication matricielle). Cet anneau de matrices est généralement non commutatif, même si <math>A</math> est commutatif.
+* Si <math>X</math> est un espace topologique, et <math>U</math> est un ouvert de <math>X</math>, l'ensemble des fonctions continues de <math>U</math> à valeurs dans un anneau <math>A</math>, dénoté <math>C(U, A)</math>, est lui même un anneau (pour l'addition et la composition de fonctions). Cet anneau n'est généralement pas commutatif, même si <math>A</math> est commutatif.
+== Théorie des anneaux commutatifs ==
-* David Hilbert, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002115344 {{lang|de|{{citation|Die Theorie der algebraischen Zahlkörper}}}}], dans ''{{lang|de|Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung}}'', {{vol.|4}}, 1897, {{p.|181}}
+TBD
-* Abraham Adolf Fraenkel, [http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002168197 {{lang|de|{{citation|Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen}}}}], dans ''{{lang|de|[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]}}'' (''Journal de Crelle''), {{vol.|145}}, 1915, {{p.|139}}
-* Emmy Noether, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0083&DMDID=DMDLOG_0008&IDDOC=29106 {{lang|de|{{citation|Idealtheorie in Ringbereichen}}}}], dans ''{{lang|de|Mathematische Annalen}}'', {{vol.|83}}, Berlin, Springer, 1921, {{p.|24}}
+== Représentation des anneaux ==
+TBD
+== Géométrie non commutative ==
+TBD
 == Notes et références ==
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 }}
+  {{Palette Théorie des anneaux}}
-== Article connexe ==
-* {{Lien|trad=Noncommutative ring|Anneau non commutatif}}
-{{Palette Théorie des anneaux}}
 {{Portail|Mathématiques}}

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein (en) Anneau caténaire
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down