Conditions de chaîne

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Condition de chaîne dénombrable.

Les conditions de chaîne (ascendante et descendante) sont deux propriétés mathématiques sur les ordres, identifiées initialement par Emmy Noether dans le contexte de l'algèbre commutative.

Définition[modifier | modifier le code]

Sur un ensemble partiellement ordonné (V, ≤) la condition de chaîne ascendante désigne la propriété suivante[1] :

  • toute suite croissante (xn)nN d'éléments de V est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang (il existe un entier N tel que pour tout nN, xn = xN)[2]

ou également la propriété (équivalente car il s'agit d'une relation d'ordre)

  • V ne contient pas de suite infinie strictement croissante[3],.

La condition de chaîne ascendante pour (V, ≤) équivaut à la propriété suivante :

En effet, d'une part cette condition, parfois appelée condition de maximalité ((en)maximal condition ou maximum condition[2]), serait contredite par l'existence d'une suite infinie décroissante. D'autre part, si elle n'est pas vérifiée, on construit une suite infinie strictement croissante en choisissant successivement dans une partie non vide sans élément maximal un élément x0, puis un majorant strict x1 de celui-ci, etc. La suite (xn) ainsi construite (par récurrence et axiome du choix car il y a une infinité de choix, un à chaque étape[4]) est infinie croissante.

(V, ≤) vérifie la condition de chaîne descendante si toute suite décroissante est stationnaire, c'est-à-dire que l'ordre opposé (V, ≥) vérifie la condition de chaîne ascendante. La condition de minimalité équivalente — toute partie non vide possède un élément minimal — n'est autre que la définition usuelle d'ordre bien fondé.

Exemples élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Sur un ensemble fini, tout ordre partiel vérifie les deux conditions de chaîne (ascendante et descendante).
  • L'ensemble ℕ des entiers naturels, muni de l'ordre usuel, vérifie la condition de chaîne descendante, mais pas l'ascendante.
  • L'ensemble ℤ des entiers relatifs, muni de l'ordre usuel, ne vérifie aucune des deux conditions de chaîne.
  • Un ordre est bon si et seulement s'il est total et vérifie la condition de chaîne descendante.

Origine en théorie des anneaux[modifier | modifier le code]

La condition de chaîne ascendante a été introduite par Emmy Noether : un anneau commutatif est dit noethérien si l'ensemble de ses idéaux, partiellement ordonné par l'inclusion, vérifie cette condition. Lorsque cet ordre partiel vérifie la condition de chaîne descendante, l'anneau est dit artinien. Un corollaire du théorème de Hopkins-Levitzki (en) est que tout anneau artinien est noethérien. ℤ est noethérien mais non artinien : les 2n forment une suite infinie strictement décroissante d'idéaux.

Extension aux modules[modifier | modifier le code]

Les idéaux d'un anneau commutatif A sont simplement ses sous-modules, A étant muni de sa structure naturelle de A-module. Un A-module est dit noethérien (resp. artinien) si l'ensemble de ses sous-modules vérifie la condition de chaîne ascendante (resp. descendante). L'implication précédente (tout anneau artinien est noethérien) ne s'étend pas aux modules :

Exemple d'un module artinien mais non noethérien.

Soit p un nombre premier. Le p-groupe de Prüfer[1/p]/ℤ est un sous-groupe du groupe abélien ℚ/ℤ, donc un ℤ-module. C'est un module artinien puisque ses sous-groupes propres sont finis. Mais il n'est pas noethérien, car on obtient suite infinie strictement croissante de sous-modules en considérant, pour tout entier naturel n, le sous-groupe constitué des éléments dont l'ordre est un diviseur de pn.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les suites croissantes et décroissantes définissent deux types particuliers de chaînes dénombrables.
  2. a et b Atiyah & Mac Donald, p. 74 ; Jacobson, p. 168
  3. Jacobson, p. 200
  4. Jacobson, p. 168 ; il s'agit d'une forme faible d'axiome du choix, l'axiome du choix dépendant.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]