Anneau de Bézout

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En algèbre commutative un anneau de Bézout ou anneau bézoutien est un anneau où la propriété de Bézout va se trouver vérifiée. Plus formellement, un anneau pseudo-bézoutien un anneau dans lequel tout idéal de type fini est principal ; un anneau bézoutien est un anneau pseudo-bézoutien intègre[1].

Idéal de type fini et propriété de Bézout[modifier | modifier le code]

Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit idéal principal et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA+bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au+bv avec u et v éléments de A.

Un anneau intègre est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.

Dans un anneau pseudo-bézoutien tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un PGCD : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau pseudo-bézoutien est donc un anneau à PGCD.

De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée identité de Bézout : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au+bv=c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.

Hiérarchie[modifier | modifier le code]

  • Puisque tout anneau pseudo-bézoutien est un anneau à PGCD, sur un tel anneau on a :
  • Un anneau bézoutien vérifie la propriété supplémentaire suivante :
  • Un anneau est de Bézout si et seulement s'il est à la fois à PGCD et de Prüfer, un anneau intègre étant dit de Prüfer si tout idéal de type fini non nul est inversible.
  • Tout anneau de valuation est de Bézout.
  • Un anneau intègre est principal si et seulement s'il est à la fois de Bézout et atomique[2], un anneau intègre étant dit atomique si tout élément non nul et non inversible y est produit d'irréductibles.
    • Puisque tout anneau factoriel est intègre et atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi factoriel est un anneau principal.
    • De même, puisque tout anneau noethérien est atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux principaux soit stationnaire.)
    • Il existe des anneaux de Bézout non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau \scriptstyle H(\C) des fonctions entières[3] ou celui des entiers algébriques[4],[5],[6]. On peut également construire[7], pour tout groupe abélien totalement ordonné G, un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est G : pour G non trivial et non isomorphe à Z, cet anneau sera de valuation non triviale et non discrète, donc ne sera pas principal.

Anneaux de Bézout non commutatifs[modifier | modifier le code]

On appelle anneau de Bézout (ou bézoutien) à gauche un anneau intègre R dans lequel tout idéal à gauche de type fini est principal. On définit de même un anneau de Bézout à droite. Un anneau de Bézout est un anneau de Bézout à gauche et à droite. Un anneau atomique bézoutien à gauche est un anneau principal à gauche (i.e., un anneau intègre dans lequel tout idéal à gauche est principal). Un anneau R est de Bézout à gauche si, et seulement si R est un anneau d'Ore à gauche dans lequel tout idéal à gauche de type fini est libre[8].

Modules sur les anneaux de Bézout[modifier | modifier le code]

Soit R un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif) et M un R -module à gauche ou à droite de type fini. Soit \mathcal{T}\left( M\right) le sous-module de torsion de M . Il existe un module libre de type fini F tel que M=\mathcal{T}\left( M\right) \oplus F et, puisque F\cong M/\mathcal{T}\left( M\right), F est déterminé de manière unique à un isomorphisme près[9]. En particulier, un anneau intègre R est de Bézout si, et seulement si tout R -module à gauche ou à droite de type fini sans torsion est libre.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Bourbaki 2006, chap. 7, §1, exercices 20 et 21
  2. (en) Paul Moritz Cohn, « Bezout rings and their subrings », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 64,‎ 1968, p. 251-264 (lire en ligne)
  3. Voir une démonstration dans Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes de David Bourqui
  4. E. Cahen, « Sur l'arithmétique du corps de tous les nombres algébriques », Bull. SMF, vol. 56,‎ 1928, p. 7-17 (lire en ligne) explicite ce point du supplément de Dedekind aux Vorlesungen über Zahlentheorie (en) de Dirichlet.
  5. (en) Example of a Bezout domain that is not a PID de PlanetMath
  6. Pour une généralisation, cf (en) Pete L. Clark, Commutative algebra, Kaplansky's theorem p. 215
  7. Bourbaki 2006, VI.3.4
  8. Cohn 1985
  9. Bourlès et Marinescu 2011, Theorem 654

Bibliographie[modifier | modifier le code]