Anneau à PGCD

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec : Anneau des entiers de Gauss.

En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss[1], est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres[1],[2],[3].

Définitions et exemples[modifier | modifier le code]

Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si d est un diviseur de a et de b et si tout autre diviseur commun à a et b est aussi un diviseur de d.

L'existence d'un maximum pour l'ensemble des diviseurs communs à a et b, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau, ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 6 et b = 4 + 2i5 ne possèdent pas de PGCD.

Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise.

  • De manière évidente ℤ est un anneau à PGCD.
  • L'anneau K[X] des polynômes sur un corps K est un anneau à PGCD.

Propriétés des anneaux intègres à PGCD[modifier | modifier le code]

Dans un anneau intègre à PGCD, pour tous éléments non nuls a, b, c de l'anneau, on a l'égalité suivante {\rm PGCD}(ac,bc) \sim c\times{\rm PGCD}(a,b). Cette égalité est vraie à un élément inversible près. Elle permet d'exprimer tout élément du corps des fractions de l'anneau sous forme irréductible (unique).

Dans un anneau intègre quelconque, si PGCD(ac, bc) existe alors PGCD(a, b) existe et l'égalité est vraie. Mais la réciproque est fausse : ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 3 et b = 2 + i5 irréductibles possèdent un PGCD de 1 mais 6 et 4 + 2i5 ne possèdent pas de PGCD.

Un anneau intègre à PGCD est aussi un anneau à PPCM (et réciproquement) et on a l'égalité suivante

{\rm PGCD}(a,b) \times{\rm PPCM}(a,b) \sim ab.\,

Cette égalité est vraie à un élément inversible près.

Dans un anneau intègre quelconque, si PPCM(a, b) existe alors PGCD(a, b) existe et l'égalité précédente est vérifiée. Mais la réciproque peut se révéler fausse ; ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 2 et b = 1 – i5 irréductibles possèdent un PGCD mais pas de PPCM. Cependant si tous les couples (a, b) possèdent un PGCD alors ils possèdent aussi un PPCM.

Un anneau intègre à PGCD vérifie le lemme de Gauss et donc le lemme d'Euclide c'est-à-dire

Lemme de Gauss : pour tout couple (a, b) d'éléments non nuls de A, a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout élément c de A, si a divise bc alors a divise c.
Lemme d'Euclide : pour tout élément p irréductible de A et pour tout couple (a, b) d'éléments de A, si p divise ab alors p divise a ou p divise b.

Ainsi, dans un anneau intègre à PGCD, un élément est irréductible si et seulement s'il est premier.

Le lemme de Gauss permet par ailleurs de prouver[4] qu'un anneau intègre à PGCD est intégralement clos.

Tout anneau de polynômes à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD[5].

Relation avec les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout[modifier | modifier le code]

  • Tout anneau factoriel et tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD.
  • Tout anneau à PGCD intègre et noethérien est factoriel. Plus précisément, un anneau intègre est factoriel si et seulement si c'est à la fois un anneau à PGCD et un anneau dans lequel toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire.
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas factoriels (prendre un anneau de Bézout non factoriel comme l'anneau des entiers algébriques).
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas de Bézout (par exemple un anneau factoriel noethérien non principal : ℚ[X,Y] ou ℤ[X]).
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont ni factoriels ni de Bézout[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Mutafian (1976), p. 30
  2. Szpirglas (2009), p. 505, Définition 9.92
  3. Aviva Spirzglas précise : « Les anneaux à pgcd ne sont pas [non plus] supposés intègres. Comme nous nous intéressons à leurs propriétés arithmétiques, nous ne parlerons pas du cas non intègre. » (Szpirglas (2009), p. 511)
  4. (en) Every gcd domain is integrally closed de PlanetMath.
  5. Ou plus généralement : toute algèbre d'un monoïde à PGCD sur un tel anneau : (en) Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984 (ISBN 9780226293929) Theorem 14.5 p.176.
  6. Soit A un anneau intègre à PGCD mais non factoriel. Alors A[X] est à PGCD d'après la référence dans Robert W. Gilmer. Mais il n'est pas factoriel (sinon A serait factoriel), ni de Bézout (considérer l'idéal engendré par a et Xa est un élément de A non nul et non inversible, cet idéal qui est de type fini n'est pas principal car tout générateur diviserait à la fois a et X).

Bibliographie[modifier | modifier le code]