Anneau artinien

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En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Ce sont des anneaux noethériens de taille minimale. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin.

Définition[modifier | modifier le code]

On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien. Autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que toute partie non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Pour un anneau unitaire non commutatif, on définit de même les notions d'artinien à gauche et artinien à droite (relatives aux idéaux à gauche et à droite). Si l'anneau est simple, ces deux notions coïncident.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tout anneau fini est artinien.
  • Tout corps est artinien.
  • Soit A un anneau noethérien. Soit M un idéal maximal de A. Alors A/Mn, où n est un entier strictement positif, est un anneau artinien. En effet, il est de longueur finie en tant que A-module.
  • Si k est un corps, les anneaux quotients k[T]/(Tn) sont artiniens. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. Ces anneaux sont à la base de la théorie des déformations en géométrie algébrique.
  • Si A est un anneau noethérien et si P est un idéal premier minimal (i.e. ne contenant aucun autre idéal premier), alors le localisé AP est un anneau artinien. En géométrie algébrique, un anneau artinien apparait comme l'anneau local d'un schéma noethérien en un point générique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Caractérisation :
    • Un anneau est artinien si et seulement s'il est noethérien et de dimension de Krull nulle.
    • Soit A un anneau local noethérien, d'idéal maximal M. Alors A est artinien si et seulement si M n = 0 pour un entier n strictement positif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 8

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre, Chapitre 8, Paris, 1981, rééd. 2012, partiellement consultable sur Google Livres et sur le site des éditions Springer, p. VIII.6.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre, Chapitre 8, Paris, 1981, rééd. 2012, partiellement consultable sur Google Livres et sur le site des éditions Springer, p. VIII.5.