Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe $G$ l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.

Définition

Soit $(G,*)$ un groupe, noté multiplicativement, de neutre $e$.

$Z_G = \left\{ z \in G | gz = zg \forall g \in G\right\}$

$Z_G$ est un sous-groupe de $G$.

Propriétés

• $Z_G$ est un sous-groupe caractéristique (et donc normal) de G.
• Tout sous-groupe de $Z_G$ est sous-groupe normal de G.
• $Z_G$ est abélien.

Exemples

• Le centre d'un groupe abélien $G$ est le groupe $G$ entier, c'est-à-dire :

$Z_G = G \,$

• Le centre du groupe alterné A_n est trivial pour n ≥ 4.

Application

On considère l'automorphisme intérieur :

$\phi : G \rightarrow Aut(G), \, g \mapsto \phi_g \,$

où $\phi_g \,$ est l'automorphisme défini par:

$\phi _g : G \rightarrow G, h \mapsto g h g^{-1} \,$

On a alors:

$\ker (\phi)=Z_G \,$

$\mbox{Im} \, \phi= \mbox{Int}(G)$

Le sous-groupe $\mbox{Int} (G)$ est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

$G/Z(G) \cong \mbox{Int}(G) \,$.

Voir aussi

• Centre (algèbre)