Module quotient

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En mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M.

Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+).

Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique \pi : M \rightarrow M/N soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules :

\forall a\in A,~\forall m\in M,\qquad a.(m+N)=(am)+N~.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • M/M est le module trivial {0}.
  • M/{0} est isomorphe à M.
  • Si M est égal à l'anneau A (vu comme module à gauche sur lui-même), ses sous-modules sont les idéaux à gauche de A. Le module quotient de A par un idéal bilatère I est l'anneau quotient A/I, vu comme A-module.
  • Si I est un idéal bilatère de A, la structure de A-module du quotient de M par le sous-module
IM=\{\sum_{j=1}^n a_j m_j~|~n\in\N,~a_1,\ldots,a_n\in A,~m_1,\ldots,m_n\in M\}

est induite par sa structure naturelle de A/I-module.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout morphisme de A-modules f : M \rightarrow L dont le noyau contient N se factorise de façon unique par M/N, c'est-à-dire qu'il existe un unique morphisme de A-modules \tilde f:M/N \to L tel que \tilde f \circ \pi = f.