Anneau de Jacobson

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Un anneau de Jacobson est un anneau commutatif dont tout idéal premier est intersection d'idéaux maximaux. Comme tout idéal radiciel est intersection des idéaux premiers qui le contiennent, un anneau de Jacobson est tel que tout idéal radiciel soit intersection d'idéaux maximaux.

• Un anneau local artinien est de Jacobson car son idéal maximal est le seul idéal premier. Ce sont d'ailleurs les seuls anneaux locaux de Jacobson.

• Une algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Jacobson. Plus généralement, une algèbre de type fini sur un anneau de Jacobson est de Jacobson.

• Un anneau de Dedekind ayant un nombre infini d'idéaux maximaux (par exemple l'anneau des entiers relatifs $\mathbb Z$ ou même un anneau d'entiers algébriques) est de Jacobson.

• Si A est un anneau de Jacobson, et si B est de type fini sur A, alors pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de B, alors l'image réciproque $\mathfrak{p}$ de $\mathfrak{m}$ par le morphisme $A \to B$ est un idéal maximal de A. De plus, par Nullstellensatz, le morphisme induit entre les corps $\frac{A}{\mathfrak{p}} \to \frac{B}{\mathfrak{m}}$ est une extension finie de corps.

Une conséquence est que les idéaux maximaux $m$ de $\mathbb Z[X_1,\ldots, X_n]$ sont nécessairement à corps résiduel $\mathbb Z[X_1,\ldots, X_n]/m$ fini.

Certaines de ces propriétés peuvent se démontrer à l'aide du Lemme de normalisation de Noether.

• D'un point de vue géométrique, A est de Jacobson si et seulement si dans toute partie fermée non-vide $V(I)$ du spectre de A, l'ensemble des points fermés est dense. Il en résulte qu'un élément $f\in A$ vu comme fonction régulière sur ${\rm Spec} A$ s'annule aux points fermés de $V(I)$ si et seulement si $f$ appartient au radical de $I$. Ainsi les anneaux de Jacobson forment la classe d'anneaux parfaite pour fournir une version générale du Nullstellensatz.

Références

A. Grothendieck, J. Dieudonné : Éléments de géométrie algébrique (édition 1971, Springer), Chapitre 1, § 6.4 et Chapitre 0, § 2.8.