Gabriel Cramer

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Gabriel Cramer
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Gabriel Cramer

Naissance
Genève (Suisse)
Décès (à 47 ans)
Bagnols-sur-Cèze (France)
Nationalité Drapeau de la Suisse Suisse
Champs Mathématiques
Institutions Université de Genève
Royal Society
Diplôme Université de Genève
Renommé pour Règle de Cramer
Paradoxe de Cramer
Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Problème de Cramer-Castillon

Gabriel Cramer, né le à Genève et mort le à Bagnols-sur-Cèze, est un mathématicien suisse, professeur de mathématiques et de philosophie à l'Académie de Genève.

Biographie[modifier | modifier le code]

Famille[modifier | modifier le code]

Gabriel Cramer, fils de Jean-Isaac Cramer (1674-1751), médecin, et d'Anne Mallet, naît le à Genève[1]. Il est le frère cadet de Jean (1701-1773), professeur de droit à l'Académie de Genève, qui occupa cinq fois la charge de syndic et une fois celle de premier syndic, en 1770 (la plus haute fonction politique de la République de Genève à l'époque).

Les origines de la famille Cramer se trouvent au duché de Schleswig-Holstein, aux confins du Danemark et de l’Allemagne actuelle, mais on les retrouve à Strasbourg au début du XVIIe siècle, où un certain Christian Cramer occupe la fonction de premier échevin. Son fils Jean-Ulrich émigra en 1634 à Genève et y fut reçu Bourgeois, avec ses fils, en 1668. L’aîné de ces fils, prénommé Gabriel (1641-1724), homonyme de notre savant, et père de Jean-Isaac, fut un médecin réputé à Genève, et le premier membre de la famille à intégrer l’un des Conseils de la République (en l’occurrence le Conseil des Deux Cents en 1677)[2].

Attention à ne pas le confondre avec Gabriel Cramer (1723-1793), imprimeur-libraire à Genève et cousin du mathématicien, connu pour avoir été l'éditeur de Voltaire.

Études et formation[modifier | modifier le code]

Jean-Louis Calandrini (1703-1758)

Sitôt sorti du Collège de Calvin, à l'âge de 13 ans, il suit un enseignement complémentaire de Belles-Lettres pendant deux ans, puis est admis à suivre les cours de l'Académie de Genève le 15 mai 1719. Élève du mathématicien Étienne Jallabert (1658-1723, titulaire de la chaire de philosophie depuis 1713), il termine ses études philosophiques avec une thèse sur le son (1722)[3]. Suite au décès de Jallabert, un concours est ouvert afin de pourvoir la chaire de philosophie de l'académie, auquel il postule au côté de deux autres prétendants : un pasteur, Amédée de la Rive, et son ami Jean-Louis Calandrini; c'est le pasteur qui l'emportera. Néanmoins, la candidature des deux jeunes savants n'a pas été vaine : pour rétablir un certain équilibre vis-à-vis des ecclésiastiques, qui détiennent maintenant les deux chaires de philosophie, et probablement enthousiasmés par leur prestation à l'occasion de ce concours, les membres du Petit Conseil de Genève décident de la création, pour Gabriel Cramer et son ami Jean-Louis Calandrini, d'une chaire de mathématiques[4] qu'ils partageront (1724)[5], leur enseignement portant sur algèbre et astronomie pour l'un, géométrie et mécanique pour l'autre.

Cramer, alors à peine âgé de 20 ans, commence immédiatement à enseigner pendant que Calandrini voyage. Puis il entreprend à son tour un « grand tour » de formation qui le mène successivement à Bâle de mai à octobre 1727 (auprès de Jean et de Nicolas Bernoulli), à Cambridge et à Londres entre novembre 1727 et juillet 1728 (où il rencontre Nicholas Saunderson, Hans Sloane, Abraham de Moivre et James Stirling), à Leyde de juillet à décembre 1728 (auprès de 's Gravesande), et enfin à Paris, où il se lie avec Jean-Jacques Dortous de Mairan et Alexis Clairaut, jusqu'à son retour à Genève en mai 1729.

Carrière scientifique et enseignement[modifier | modifier le code]

En 1730 il concourt pour le prix de l'Académie royale des sciences de Paris, pour lequel la question était Quelle est la cause de la figure elliptique des planètes et de la mobilité de leur aphélies ? avec une pièce intitulée Mémoire sur le Système de Descartes et sur les moyens d’en déduire les orbites et les aphélies des planètes; pour ce mémoire[6] il recevra un proxime accessit, devancé par Jean I Bernoulli[7].

Charles Bonnet (naturaliste, 1720-1793), ancien élève de Gabriel Cramer à l'Académie de Genève

En 1734, Cramer devient seul titulaire de la chaire de mathématiques, à la suite de la nomination de Calandrini comme professeur de philosophie. Ses principaux disciples sont le physicien Jean Jallabert (1712-1768), qui soutient sous sa direction une thèse sur la gravitation (1731), Georges-Louis Le Sage (1724-1803), connu pour une théorie de la gravitation basée sur des "corpuscules ultramondains", et le naturaliste Charles Bonnet (1720-1793), qu'il initie à la philosophie et dont il soutient les premières recherches[8]. Quatre étudiants soutiendront des thèses sous sa direction : Jean Jallabert (Theses physico-mathematicae de gravitate, 1731), Étienne Thourneyser (Theses logicae de Inductione, 1733)[9], Robert-Guillaume Rilliet (Specimen physicum de Hodierna terrae structura, 1735), et enfin Jean-Pierre Trembley (Disquisitio philosophica De erroribus qui ex animi motibus nasci solent, quam Deo favente, 1740).

En 1747 il accompagne le jeune Prince héréditaire de Saxe-Gotha[10] à Paris, en tant que précepteur. Ce second séjour parisien, qui durera un an (de mai 1747 à mai 1748) sera pour lui l'occasion de revoir ses amis et correspondants Dortous de Mairan, Clairaut et Réaumur, d'assister régulièrement aux séances de l'Académie royale des sciences, mais aussi de nouer de nouvelles et fécondes relations, notamment avec d'Alembert et Condillac.

En 1750, suite au départ de Calandrini, appelé à de nouvelles responsabilités politiques au Petit Conseil, Gabriel Cramer devient à son tour professeur de philosophie, élu "par acclamation" (c'est-à-dire sans concours)[11]. À cette occasion il prononce une harangue remarquée sur l'utilité de la philosophie dans le gouvernement de la cité (Oratio inauguralis De utilitate philosophiae in civitatibus regendis), qu'il fera imprimer et enverra à quelques-uns de ses correspondants.

Cramer est élu fellow de la Royal Society le , correspondant de l'Institut de Bologne (1743), de l'Académie royale de Berlin (1746), des académies de Montpellier (1743) et de Lyon (1750). Malgré deux tentatives en 1748 puis 1750, avec le soutien de ses amis parisiens (notamment Dortous de Mairan, d'Alembert et Madame Geoffrin[12]), il ne parviendra pas à se faire élire comme associé étranger de l'Académie royale des sciences de Paris. Fortement investi dans la vie civique et politique genevoise, il fait partie du Conseil des Deux-Cents (1734) et du Conseil des Soixante (1749).

Décès et hommages[modifier | modifier le code]

Gabriel Cramer tombe gravement malade en 1751, et entreprend un voyage dans le sud de la France pour restaurer sa santé. Il part en compagnie de son ami avocat Jean-Louis Du Pan (1698-1775) et de son neveu, le 21 décembre 1751, en direction de la Provence. Mais après une étape à Lyon son état s'aggrave brusquement, et il meurt sur la route de Montpellier (où ses compagnons pensaient trouver du secours), à Bagnols-sur-Cèze, le matin du 4 janvier 1752[13].

Dans un de ses éloges[14], on peut lire ces mots, retranscrits d'une lettre de Daniel Bernoulli :

« Nôtre Gazette, Mon Cher Monsieur, nous avoit déja apris la triste nouvelle que vous venés de me marquer. Elle m'a touché au vif. J'ai perdu un intime Ami; Vôtre Ville & nôtre Suisse ont perdu un de leurs plus beaux Ornemens, & toute l'Europe un savant du premier Ordre, né pour augmenter & pour perfectionner les Sciences. C'étoit non seulement un illustre, mais encore un aimable Savant. »

Œuvre[modifier | modifier le code]

L'Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Genève, 1750)[modifier | modifier le code]

Le premier appendice du traité de Gabriel Cramer (présentant la future "règle des déterminants")

Le travail qui l'a fait le plus connaître est son traité sur les courbes algébriques, intitulé Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, publié en 1750 à Genève sous les presses de ses cousins imprimeurs Gabriel et Philibert Cramer. C'est un traité de près de 700 pages, dont 33 planches de figures, dont le but est de proposer une classification des courbes algébriques des cinq premiers ordres selon le nombre et la position de leurs branches infinies.

Il traite la plupart des questions classiques liées à l'étude des courbes algébriques (branches infinies, centres et diamètres, tangentes, extrema, courbure...) en utilisant uniquement des méthodes algébriques, à l'exclusion de tout calcul différentiel. Cramer place lui-même son traité dans la droite lignée des travaux d'Isaac Newton sur les courbes du troisième ordre, intitulé Enumeratio Lineæ Tertii Ordinis, paru en annexe de son Opticks en 1704[15]. Mais Cramer souhaite aller plus loin et expliciter les méthodes algébriques mises en œuvre par Newton; dans sa préface[16], il écrit :

« C’est à l’Illustre M. Newton que la Géométrie est sur-tout redevable de cette distribution. Son Enumeration des Lignes du troisième Ordre est un excellent modèle de ce qu’il faut faire en ce genre, & une preuve convaincante que ce grand Homme avoit pénétré jusqu’au fonds de ce que la Théorie des Courbes a de plus délié & de plus intéressant. Il est fâcheux que M. Newton se soit contenté d’étaler ses découvertes sans y joindre les Démonstrations, & qu’il ait préféré le plaisir de se faire admirer à celui d’instruire. »

Il utilise ainsi de manière presque systématique un dispositif, hérité du parallélogramme analytique de Newton, qu'il nomme triangle analytique (emprunt aux Usages de l'analyse de Descartes[17] de l'abbé de Gua), et qu'il mobilise pour calculer des développements en série, afin de déterminer les branches infinies ou l'allure de la courbe au voisinage de l'origine.

C'est également dans cet ouvrage, dans l'appendice I, qu'apparaît pour la première fois ce qui sera ultérieurement appelé la Règle de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires d'équations, préfiguration de ce qui sera appelé déterminants[18]. On y trouve également une démonstration de ce qui sera connu comme le théorème de Bézout, énoncé par Maclaurin dès 1720, qui dit que deux courbes algébriques de degré m et n se coupent généralement en m\times n points. Enfin on y trouve mention de ce qui est aujourd'hui connu comme le paradoxe de Cramer.

Le traité de Cramer fut bien reçu par ses contemporains[19], comme par les mathématiciens du XIXe siècle; en témoigne cette citation de Michel Chasles en 1837 dans son Aperçu historique[20] : « Cramer donna, sous le titre : Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques (in-4°, 1750), un traité spécial, le plus complet, et encore aujourd’hui le plus estimé, sur cette vaste et importante branche de la Géométrie. »

Édition scientifique des Œuvres de Jean et Jacques Bernoulli[modifier | modifier le code]

La page de titre des Opera de Jean Bernoulli, éditées et annotées par Gabriel Cramer

Gabriel Cramer, au début des années 1740, s'attaque à l'édition scientifique des œuvres mathématiques de Jean Bernoulli[21] (en 4 volumes) et Jacques Bernoulli[22] (en 2 volumes), ainsi que de la correspondance entre Jean Bernoulli et Leibniz[23] (en 2 volumes). C’est un travail conséquent pour lequel il recevra les hommages de d’Alembert, dans l’éloge[24] que ce dernier rendit à Jean Bernoulli, en 1748 :

« On a publié en 1743, à Lausanne, le recueil de tous les écrits de Bernoulli : ce recueil précieux, fait avec un soin et une intelligence qui méritent la reconnaissance de tous les géomètres, est dû à l’un des plus célèbres disciples de l’auteur, Cramer, professeur de mathématiques à Genève, que l’étendue de sa connaissance dans la géométrie, dans la physique et dans les belles-lettres, rendait digne de toutes les sociétés savantes, et dont l’esprit philosophique et les qualités personnelles relevaient encore les talens. »

Il a également supervisé l'édition genevoise des Elementa Matheseos Universæ[25] de Christian Wolff (5 volumes, 1732-1741).

Cours de logique[modifier | modifier le code]

Dans le domaine de la méthode, son cours de logique circulera longtemps, sous forme de manuscrit, dans la communauté des savants genevois et inspirera notamment la méthode expérimentale de Charles Bonnet. Ce cours de logique, en partie consacré à l'étude de la connaissance probable[26], servira de base à la rédaction des articles Idée, Induction et Probabilité de l'Encyclopédie, sous la plume d'un de ses anciens disciples, Charles-Benjamin de Lubières[27].

Correspondance[modifier | modifier le code]

Gabriel Cramer a entretenu une correspondance régulière avec de nombreux savants à travers l'Europe : dès les années 1730 avec Dortous de Mairan, Clairaut, Maupertuis et Buffon à Paris, avec Jean I, Nicolas I et Daniel Bernoulli à Bâle, avec Stirling à Londres. Dans les années 1740 il entame une correspondance avec Euler et Formey à Berlin, avec Jean II Bernoulli (à propos de l'édition des œuvres complètes de son père) à Bâle, et avec la Marquise Émilie du Châtelet. Enfin, suite à son second séjour parisien de 1747-1748, il ajoutera d'Alembert, Réaumur et Condillac à la liste de ses (nombreux) correspondants.

Correspondants français[modifier | modifier le code]

Jean-Jacques Dortous de Mairan

Dans la correspondance de Cramer avec Dortous de Mairan[28], qui s'étend sur plus de vingt ans (de 1730 à 1751), il est beaucoup question de mécanique céleste, en particulier du mouvement des planètes et des comètes, ainsi que de la question de la forme de la Terre. Cramer y montre aussi un intérêt particulier pour les couleurs, pour la question de l'analogie entre la lumière et le son, pour les aurores boréales, ainsi que pour la philosophie de la connaissance et la méthode.

La correspondance avec Clairaut[29] [30] se divise en deux périodes : dans la première période (1729-1732) les échanges portent essentiellement sur les courbes. Dans la seconde période (1744-1751) il est davantage question de mécanique céleste et d'astronomie, notamment à propos de la théorie de la Lune de Clairaut.

Le contenu des lettres échangées avec Buffon[31] dans la période 1730-1731 (alors que celui-ci signait encore simplement Le Clerc) rappelle que le futur naturaliste et administrateur du Jardin des Plantes s'est montré, dans la première partie de sa carrière, très intéressé par les mathématiques. Lors de la reprise de leur commerce épistolaire, en 1744, Buffon occupe la fonction d'Intendant du Jardin du Roy depuis cinq ans : les échanges entre les deux hommes consistent pour l'essentiel à discuter des nouvelles littéraires, mais on y apprend que Buffon a intercédé auprès de Martin Folkes, alors président de la Royal Society, pour que Cramer y soit reçu (ce qui sera le cas en février 1749).

Dans la correspondance avec Condillac[32] (entre 1747 et 1750), qui se montre influencé par Locke et Newton, Cramer est plutôt favorable à Leibniz et Wolff, du moins lorsqu'il s'agit de définir la perception, la conscience et l'attention, ou de distinguer l'imagination et l'entendement.

Quant à la correspondance avec d'Alembert[33] [34], elle porte essentiellement sur le mouvement des apsides de la Lune, qui semblait poser un problème à la loi newtonienne de la gravitation universelle, fondée sur le carré des distances. Ce problème fut résolu à la fin de l'année 1748, lorsque Clairaut découvrit qu'un calcul plus complet mené sur la base de la loi du carré des distances pouvait rendre compte de pratiquement tous les mouvements des apsides lunaires. On retrouve également quelques échanges intéressants sur les contenus du traité des courbes de Cramer, que ce dernier a fait parvenir à ses amis parisiens en août 1750 : d'Alembert s'y révèle lecteur attentif de ce traité, et complétera l'article COURBE[35] de l'Encyclopédie pour y inclure de nombreuses références à l'ouvrage de Cramer.

Autres correspondants[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler

La correspondance avec Jean I Bernoulli s'étend de 1727 à 1733; le principal sujet traité est celui des forces vives, Cramer renseignant son maître bâlois sur la réception de ses idées lors de son séjour en Angleterre et en France (1727-1729). Celle avec Nicolas Bernoulli, forte d'une quarantaine de lettres échangées entre 1727 et 1750, hormis quelques échanges ayant trait à l'édition des Œuvres de Jacques Bernoulli[22], porte davantage sur des sujets mathématiques : calculs algébriques, probabilités. C'est également dans cette correspondance que Gabriel Cramer, en 1728, apporte des éléments de réflexion importants sur un problème posé par Nicolas Bernoulli quelques années auparavant, aujourd'hui connu sous le nom de Paradoxe de Saint-Pétersbourg, paradoxe qui sera résolu quelques années plus tard par son cousin Daniel[36]. L'édition des Œuvres de Jean Bernoulli[21] fait l'objet de l'essentiel de la correspondance avec Jean II. Enfin, quelques lettres échangées avec Daniel Bernoulli à la fin des années 1730 permettent de voir Gabriel Cramer à l'oeuvre en tant qu'expérimentateur, à propos d'expériences conçues par Daniel Bernoulli pour évaluer la force de rameurs, que Cramer a menées sur le Rhône.

Enfin, la correspondance conservée avec Euler porte sur une vingtaine de lettres, échangées entre 1743 et 1751. Elle s'engage sur la demande faite par Euler à Cramer de rédiger la préface[37] et de superviser l'impression de son ouvrage sur les isopérimètres[38], et se poursuit autour de la publication du célèbre Introductio in analysin infinitorum, qui paraîtra en 1748, et dont le second volume a un objet très proche de celui traité par Cramer dans son Analyse des courbes.

Ouvrages, lettres et textes publiés[modifier | modifier le code]

  • Dissertatio physico-mathematica de sono, Genève, Cramer, Perachon & Cramer Filii, 1722, à voir sur la bibliothèque virtuelle des fonds anciens de l'Université de Toulouse Tolosana
  • An Account of an Aurora Borealis Attended with Unusual Appearances, in a Letter from the Learned Mr. G. Cramer, Prof. Math. Genev. to James Jurin, M. D. and F. R. S., Philosophical Transactions, vol. 36, pages 279-282, Londres, 1729. Lire en ligne
  • Extrait de quelques Lettres de Mr Cramer, Professeur de Mathématiques et de Philosophie à Genève, écrites à M. de Mairan, Secrétaire perpétuel de l'Académie royale des sciences, Journal des Sçavans pour l'année 1741, pages 508 à 556, Paris, 1741 Lire en ligne
  • Problème de dioptrique : trouver le foyer des raïons rompus par un nombre quelconque de Verres convexes ou concaves, Histoire de la Société royale des sciences: établie à Montpellier avec les mémoires de mathématiques et de physique, tirés des registres de cette société, tome II, Montpellier, 1778 Lire en ligne
  • Lettre de Mr Cramer, Professeur de Philosophie & de Mathématique à Genève, adressée à Mr B***, Bibliotécaire, sur la Paque. Journal helvétique, Septembre 1744, pages 238-243. Neuchatel, 1744. Lire en ligne .
  • Dissertation sur Hippocrate de Chio, Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin pour l'année 1748, pages 482-198, Berlin, 1750 Lire en ligne
  • Oratio Academica Genevæ habita an. 1750 a Gabriele Cramer, Philosophiæ Professore, qua respondetur ad hanc quæstionem : Num semen tritici in lolium vertatur ? [Si l'yvraie vient toujours de sa propre semence], Museum Helveticum, Vol 6, Cahier 23, pages 321-339 Lire en ligne
  • Oratio inauguralis De utilitate philosophiae in civitatibus regendis, Genève, Fratrum Cramer & Cl. Philibert, 1750.
  • Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques sur Google Livres, Genève, Frères Cramer et Cl. Philibert, 1750. Ou, chez e-rara.ch : DOI:10.3931/e-rara-4048
  • Mémoire posthume de géométrie, Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin pour l'année 1752, pages 283-290, Berlin, 1754 Lire en ligne

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Pierre Speziali, Gabriel Cramer (1704-1752) et ses correspondants, Les Conférences du Palais de la Découverte, Série D, n°59, Paris, 1958
  • Éloge historique de Monsieur Cramer, Professeur de Mathématiques & de Philosophie à Genève, Nouvelle Bibliothèque Germanique, pages 359-392, Amsterdam, 1752 Lire en ligne
  • Lettre sur la Mort de Mr. Cramer, Professeur en Philosophie à Genève, Journal Helvétique février 1752, pages 99-126, Neuchatel, 1752 Lire en ligne
  • Jean Senebier, « Cramer (Gabriel) », dans Histoire littéraire de Genève, vol. 3, Genève, 1786
  • Suzanne Stelling-Michaud, Le livre du recteur de l'Académie de Genève (1559 - 1878): Notices biographiques des étudiants. A - C., Volume 2, Genève, Droz, 1966
  • Eugène et Émile Haag, La France protestante, ou Vies des protestants français qui se sont fait un nom dans l'histoire, Tome IV, pages 113-115, Paris, 1853 Sur Gallica
  • « Gabriel Cramer », dans Rousseau et les savants genevois, p. 29
  • Jacques Trembley, éd., Les savants genevois dans l'Europe intellectuelle du XVIIe au milieu du XIXe siècle, pages 93-97, Genève, 1987
  • Isaac Benguigui, Gabriel Cramer : illustre mathématicien, 1704–1752, Genève, Cramer & Cie, 1998
  • Lucien Cramer, Une famille genevoise : Les Cramer, leurs relations avec Voltaire, Rousseau et Benjamin Franklin-Bache, Genève, Droz, 1952
  • (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Gabriel Cramer », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  • (de) Rudolf Wolf, Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz, Vol. 3, pages 203-226, Zurich, Orell et Fussli, 1860. Lire en ligne
  • (de) Johann Christoph Strodtmann, « Geschichte des Herrn Gabriel Cramer », dans Das neue gelehrte Europa […], 4e partie, Meissner, 1754. Numérisation e-rara.ch
  • (en) Carl B. Boyer, History of analytic geometry, New York, Dover, 2004. Sur Google Livres
  • Charles Borgeaud, Histoire de l'Université de Genève. L'académie de Calvin 1559-1798, Genève, Georg & C°, libraires de l'Université, 1900. Lire en ligne

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jacques Augustin Galiffe, Notices généalogiques sur les familles genevoises depuis les premiers temps jusqu'à nos jours, Genève, Gruaz,‎ (lire en ligne), p. 147-154 (famille Cramer)
  2. Lucien Cramer, Une famille genevoise : Les Cramer, leurs relations avec Voltaire, Rousseau et Benjamin Franklin-Bache, Genève, Droz,‎
  3. « Dissertatio physico-mathematica de sono, quam, favente numine, sub praesidio D.D. Steph. Jallabert V.D.M. philosophiae & matheseos professoris celeberrimi, publicè tueri conabitur Gabriel Cramer Genevensis author & respondens. Die [Lunae 31 â] Mensis [Aug | Tolosana », sur tolosana.univ-toulouse.fr (consulté le 30 juillet 2015)
  4. Charles Borgeaud, Histoire de l'Université de Genève. L'académie de Calvin 1559-1798, Genève,‎ (lire en ligne), p. 502
  5. « Archives d'Etat de Genève. Copie du "registre du Conseil" pour l'année 1724 », sur https://www.geneve.ch/archives (consulté le 28 juillet 2015)
  6. Mémoire non publié, et aujourd'hui manifestement perdu. La pièce primée de Jean Bernoulli, intitulée Nouvelles pensées sur le système de M. Descartes et la manière d'en déduire les orbites et les aphélies des planètes, a, elle, été publiée en 1730. Lire en ligne. En page 2, dans l'Avertissement, la pièce de Cramer est mentionnée, identifiée par la devise Me vero primum dulces.
  7. Voir lettre de Jean I Bernoulli à Gabriel Cramer, Bâle, 15 avril 1730, sur e-manuscripta
  8. Raymond Savioz (dir.) et Charles Bonnet, Mémoires autobiographiques de Charles Bonnet de Genève, Paris, Vrin,‎ , p. 44-61
  9. (la) Étienne Thourneyser, Theses logicae de Inductione, Genève, Bousquet et associés,‎ (lire en ligne)
  10. Frédéric (1735-1756), fils du duc Frédéric III de Saxe-Gotha-Altenbourg
  11. Nouvelle bibliothèque germanique ou Histoire littéraire de l'Allemagne, de la Suisse & des Pays du Nord (Éloge Historique de Monsieur Cramer),‎ 1752 (lire en ligne), p. 385
  12. Revue d'histoire littéraire de la France, Paris, Armand Colin,‎ 1894 (lire en ligne), p. 52-54, Lettre de Madame Geoffrin à Gabriel Cramer en date du 26 juin 1750
  13. Nouvelle bibliothèque germanique ou Histoire littéraire de l'Allemagne, de la Suisse & des Pays du Nord (Éloge Historique de Monsieur Cramer),‎ 1752 (lire en ligne), p. 389-390
  14. Journal helvétique (Lettre sur la Mort de Monsieur Cramer, Professeur en Philosophie à Genève), Neuchâtel,‎ (lire en ligne), p. 118
  15. Isaac Newton, Opticks: or, A treatise of the reflexions, refractions, inflexions and colours of light. Also two treatises of the species and magnitude of curvilinear figures, Londres,‎ (lire en ligne)
  16. Gabriel Cramer (mathématicien), Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, chez les frères Cramer et C. Philibert,‎ (lire en ligne)
  17. Jean Paul : de Gua de Malves, Usages de l'analyse de Descartes pour découvrir, sans le secours du calcul différentiel, les propriétés, ou affections principales des lignes géométriques de tous les ordres., chez Briasson,‎ 1740 (lire en ligne)
  18. Thomas Muir, The theory of determinants in the historical order of development,‎ (lire en ligne)
  19. Lire la recension de l'Introduction de Cramer dans le Journal des Sçavans, Janvier 1751, pp 43-51 sur Google Livres.
  20. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, Gabay (Paris),‎ 1837 (lire en ligne), p 152
  21. a et b (la) Jean Bernoulli, Johannis Bernoulli... Opera omnia, tam antea sparsim edita, quam hactenus inedita. Tomus primus [-quartus], sumptibus Marci-Michaelis Bousquet & Sociorum,‎ 1742 (lire en ligne)
  22. a et b (la) Jacques Bernoulli, Jacobi Bernoulli... Opera, sumptibus haeredum Cramer et fratrum Philibert,‎ 1744 (lire en ligne)
  23. (la) Gottfried Wilhelm Leibniz et Jean Bernoulli, Got. Gul. Leibnitii et Johan. Bernoullii Commercium philosophicum et mathematicum, sumpt. Marci-Michaelis Bousquet,‎ (lire en ligne)
  24. Jean Le Rond d' Alembert, Oeuvres de d'Alembert, A. Belin,‎ (lire en ligne), Eloge de Bernoulli, p 359
  25. (la) Christian Wolff, Elementa Matheseos Universæ, Genève, Bousquet,‎ (lire en ligne)
  26. Thierry Martin, « La logique probabiliste de Gabriel Cramer », Mathématiques et sciences humaines. Mathematics and social sciences,‎ , p. 43-60 (ISSN 0987-6936, DOI 10.4000/msh.3647, lire en ligne)
  27. Jean-Daniel Candaux, « Un auteur (et même deux) pour Idée, Induction, Probabilité : Monsieur de Lubières, encyclopédiste. », Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie, no 93,‎ , p. 71-96 (lire en ligne)
  28. (en) Ellen McNiven Hine, Jean-Jacques Dortous de Mairan and the Geneva connection: scientific networking in the eighteenth century, Oxford, Voltaire Foundation,‎ , pp 67-123
  29. Pierre Speziali, « Une correspondance inédite entre Clairaut et Cramer », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, no 8-3,‎ , p. 193-237 (lire en ligne)
  30. « Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) : correspondance de la famille Clairaut », sur clairaut.com (consulté le 28 juillet 2015)
  31. Françoise Weil, « La correspondance Buffon-Cramer », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, no 14-2,‎ , p. 97-136 (lire en ligne)
  32. Georges Le Roy, Lettres inédites à Gabriel Cramer, Paris, Presses universitaires de France,‎
  33. John Pappas, « La correspondance de d’Alembert avec Gabriel Cramer », Dix-Huitième Siècle, no 28,‎ , pp 229–258
  34. Irène Passeron, Jean Le Rond d'Alembert, Œuvres complètes, Correspondance générale 1741-1752, Paris, CNRS Éditions,‎ à paraître 2015
  35. Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers. Tome quatrième, Conjonctif-Discussion / par une société de gens de lettres ; mis en ordre et publié par M. [Denis] Diderot,... et quant à la partie mathématique, par M. [Jean Le Rond] d'Alembert,.., S. Faulche () (lire en ligne)
  36. (la) Daniel Bernoulli, « Specimen Novæ Theoriæ de Mensura Sortis », Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae., no T. 5,‎ , p. 175-192 (extraits de la lettre de Cramer à la fin de l'article) (lire en ligne)
  37. Finalement rédigée par Daniel Bernoulli
  38. (la) Leonhard Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive Solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti,‎ (lire en ligne)

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