Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. En mathématiques , l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2 .
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[ 1] −1 , asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] . Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques .
On a donc par définition :
{
θ
=
arcsin
x
x
∈
[
−
1
,
1
]
⇔
{
x
=
sin
θ
θ
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\x\in \lbrack -1,1]\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right.}
Courbe représentative Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x
Relations avec les fonctions circulaires directes
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}
x
∈
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle x\in \lbrack -1,1]}
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
x
∈
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle x\in \lbrack -1,1]}
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
x
∈
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle x\in ]-1,1[}
Par contre,
arcsin
(
sin
x
)
=
x
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}
La formule générale est
arcsin
(
sin
x
)
=
(
−
1
)
k
(
x
−
k
π
)
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )}
k
{\displaystyle k}
partie entière de
x
π
+
1
2
{\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}
Dérivée Comme dérivée d'une bijection réciproque , arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie
arcsin
′
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
Si
|
x
|
⩽
1
{\displaystyle |x|\leqslant 1}
arcsin
x
=
x
+
1
2
⋅
x
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
x
5
5
+
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
x
7
7
+
…
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
⋅
x
2
n
+
1
2
n
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
n
)
x
2
n
+
1
4
n
(
2
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}
(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers .)
Démonstration
Le développement de la dérivée est :
arcsin
′
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
−
1
2
=
1
+
(
−
1
2
)
(
−
x
2
)
+
(
−
1
2
)
(
−
3
2
)
2
(
−
x
2
)
2
+
(
−
1
2
)
(
−
3
2
)
(
−
5
2
)
2
⋅
3
(
−
x
2
)
3
+
⋯
=
1
+
1
2
x
2
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
4
+
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
6
+
…
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin '(x)&=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-x^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-x^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\dots ,\end{aligned}}}
d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme .
Forme intégrale indéfinie Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}
Primitives Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
Relation entre arc sinus et arc cosinus arccos(x ) (bleu) et arcsin(x ) (rouge) Pour tout réel x –1 et 1 :
arccos
x
+
arcsin
x
=
π
2
{\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}
Extension aux complexes De la relation valable pour tout
z
{\displaystyle z}
sin
z
=
−
i
sinh
(
i
z
)
{\displaystyle \sin z=-i\sinh(iz)}
arcsin
z
=
−
i
arsinh
(
i
z
)
{\displaystyle \arcsin z=-i\operatorname {arsinh} (iz)}
D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
{\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
z
∈
C
∖
]
−
∞
,
−
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
{\displaystyle z\in {\mathbb {C}}\setminus ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [}
Le développement en série
arcsin
z
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
n
)
z
2
n
+
1
4
n
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}}
z
{\displaystyle z}
Référence Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
Intégrale de Wallis (pour le développement de
arcsin
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\x\in \lbrack -1,1]\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0045371326f1723094793d8238cb57009b798d07)
![{\displaystyle x\in \lbrack -1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f6e8077142d3b430807c21183e36f084361d22)
![{\displaystyle x\in ]-1,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2010ff22f3822e9eab135e60d07922925a1bfe)
![{\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a286fe4c890bc84ed9a0bfab92d69a16b6cf7f)
![{\displaystyle z\in {\mathbb {C}}\setminus ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59bcdcb97560f1b72355ed5036b730de8cc7fd4)
