Nombre multicomplexe (Segre)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole $\mathbb {C} _{n}$ ( $n \in ℕ$ ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension $2 n$ sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Définition

Par récurrence

Les algèbres multicomplexes ℂ_n se construisent par récurrence, en posant $ℂ 0 = ℝ$ comme initialisation. En supposant l’algèbre $ℂ n -1| n \geq 1$ déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire $i n \notin ℂ n -1$ vérifiant $i 2 n = -1$ et commutant avec les précédentes unités imaginaires $i 1, \dots, i n -1$ : on définit alors $ℂ n = {x + y i n | (x, y) \in ℂ n -1 2}$ .

Directe

Pour $n \geq 1$ , $1$ et $i n$ commutent avec tout nombre de ℂ_n−1, et $Vect(1,i n) \notin ℂ n -1$ (car $i n \notin ℂ n -1$ ). La relation $ℂ n = {x + y i n | (x, y) \in ℂ n -1 2}$ peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres $ℂ n = ℂ n -1 \otimes ℝ Vect(1,i n)$ . En outre, puisque $i 2 n = -1$ , on a $Vect(1,i n) ≅ ℂ$ , d’où $ℂ n = ℂ n -1 \otimes ℝ ℂ$ . ℝ étant l’élément neutre de ⊗_ℝ, et donc son produit vide, on a donc :

\forall n\in \mathbb {N} ,\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ facteurs}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \ .

Propriétés algébriques

Le nombre de composantes doublant à chaque rang $n$ et $ℂ 0 = ℝ$ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ_n est de dimension $2 n$ sur ℝ.
Chaque ℂ_n est une algèbre de Banach.
Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂ_n possède des diviseurs de zéro :
- pour $a \neq b$ , on a $i a -i b \neq 0$ , $i a +i b \neq 0$ et $(i a -i b)(i a +i b) = i 2 a -i 2 b = 0$ ;
- pour $a \neq b$ , on a $i a i b -1 \neq 0$ , $i a i b +1 \neq 0$ et $(i a i b -1)(i a i b +1) = i 2 a i 2 b -1 = 0$ .

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury

$ℂ n ≅ 𝓜ℂ 2 n$ .

Sous-algèbres

Pour $n \geq 1$ , ℂ₀, …, ℂ_n−1 sont des sous-algèbres de ℂ_n.
Pour $k \leq n$ , ℂ_n est de dimension $2 n - k$ sur ℂ_k.
Pour $n \geq 1$ , chaque unité $i k$ vérifie $i 2 k = -1$ , donc ℂ_n contient $n$ copies du plan complexe.
Pour $n \geq 2$ et $a \neq b$ , chaque nombre $j a, b = i a i b = i b i a$ vérifie $j a, b 2 = 1$ , donc ℂ_n contient $n (n -1) / 2$ copies du plan des complexes déployés.

Cas particuliers

Les cas $n \leq 3$ ont des noms consacrés :

ℂ₀ : nombre réel (ℝ) ;
ℂ₁ : nombre complexe (ℂ) ;
ℂ₂ : nombre bicomplexe ;
ℂ₃ : nombre tricomplexe.

Voir aussi

Bibliographie

(it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
(en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.

Arithmétique et théorie des nombres

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante de Neper ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif