Anneau de Sylvester

Un anneau de Sylvester est un anneau sur lequel les matrices ont un rang qui vérifie l'égalité de Sylvester, classique pour les matrices définies sur un corps.

Définitions

Pour une matrice à coefficients dans un corps, la notion de rang ne présente pas d'ambiguïté. Il en va différemment pour une matrice à éléments dans un anneau.

• Si l'anneau R est un anneau d'Ore, on peut plonger R dans son corps des fractions K.
  On appelle rang extérieur d'un matrice A à éléments dans R le rang de cette matrice considérée comme étant à éléments dans K. Ce rang est noté $rg\left(A\right)$ et il vérifie toujours l'inégalité de Sylvester.
• On définit également le rang intérieur d'une matrice à éléments dans un anneau R qui n'est pas nécessairement d'Ore.
  Le rang intérieur de $A\in R^{n\times m}$ est noté $\rho \left(A\right)$ et est défini comme étant le plus petit entier $r$ pour lequel il existe une factorisation$A=BC,B\in R^{n\times r},C\in R^{r\times m}$.
• Si $A$ et $B$ sont deux matrices, la somme diagonale de ces matrices, notée $A\oplus B$, est la matrice $\left({\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right)=diag\left(A,B\right)$.
• On dit qu'un anneau R a la propriété UGN si pour tout entier n il existe un R-module qui ne peut pas être engendré par n éléments. La propriété UGN entraîne la propriété IBN (en) (voir l'article anneau d'Hermite).
• Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tous entiers $n,m,p$, des matrices quelconques $A\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ vérifient l'inégalité de Sylvester $\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)-m\leq \rho \left(AB\right)$.
2. Pour tous entiers $n,m,p$, si des matrices $A=B\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ sont telles que $AB=0$, alors $m\geq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$.

On appelle anneau de Sylvester un anneau qui vérifie les propriétés équivalentes ci-dessus.

Propriétés

• Soit $A\in R^{n\times m}$. On a les inégalités suivantes dès que les membres de gauche ont un sens :$\rho \left(A\right)\leq \min \left(n,m\right),\rho \left(A\oplus B\right)\leq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right),$
  $\rho \left(AB\right)\leq \min \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right),\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)\geq \max \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right).$
• Si R est un anneau d'Ore, on a, pour toute matrice $A$ à éléments dans R, $rg\left(A\right)\leq \rho \left(A\right)$, avec égalité si, et seulement si R est un anneau de Sylvester. Un anneau d'Ore R est de Sylvester si, et seulement si sa dimension homologique faible est inférieure ou égale à 2 et tout R-module plat est la réunion d'une famille filtrante croissante de sous-modules libres.
  Si R est un anneau sans diviseur de zéro noethérien, cette condition est vérifiée si, et seulement si R est de dimension homologique au plus égale à 2 et est projectif libre (voir l'article anneau d'Hermite).
• Si R est un anneau de Sylvester, alors R est sans diviseur de zéro. De plus, pour toutes matrices $A$ et $B$ à éléments dans R, $\rho \left(A\oplus B\right)=\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$; si $A,B$ et $C$ sont des matrices à éléments dans $R$ ayant le même nombre de colonnes et si $\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)=\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$, alors$\rho \left(\left[{\begin{array}{ccc}A&B&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$.
• Tout anneau de Sylvester a la propriété UGN, a sa dimension globale faible inférieure ou égale à 2, et est projectif libre.

Exemples

Un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif) est un anneau de Sylvester, et la première algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$ (où $k$ est un corps commutatif de caractéristique 0) est un exemple d'anneau de Dedekind qui n'est pas un anneau de Sylvester.

Notes et références

Références

• (en) H. Bedoya et J. Lewin, « Ranks of Matrices over Ore Domains », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 62, n^o 2,‎ 1977, p. 233-236 (lire en ligne)
• (en) Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems : Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. (ISBN 978-3-642-19726-0, présentation en ligne)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations, Academic Press, 1985, 2^e éd., 595 p. (ISBN 0121791521)
• (en) Warren Dicks et Eduardo D. Sontag, « Sylvester Domains », J. Pure Appl. Algebr., vol. 13,‎ 1978, p. 243-275 (lire en ligne)