Dérivée extérieure

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En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier (en). Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'espace gradué des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire \mathrm d:\Omega(M)\to \Omega(M) vérifiant :

  1. d est un opérateur linéaire gradué de degré 1 et induit en particulier des applications linéaires \mathrm d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M) ;
  2. En notant \wedge le produit extérieur, pour toutes formes différentielles \alpha et \beta de degrés respectifs k et q, on a : \mathrm d\left(\alpha\wedge \beta\right)=\mathrm d\alpha\wedge \beta+(-1)^k \alpha \wedge \mathrm d\beta ;
  3. Le carré de d est nul : \rm d^2=0 ;
  4. Pour toute fonction f\in \Omega^0(M), \mathrm df est la différentielle de f.

Le noyau de d contient les formes fermées, et l'image les formes exactes (cf. différentielle exacte).

Expression en coordonnées locales[modifier | modifier le code]

Pour une k-forme \omega = f dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} sur \mathbb{R}^n, la différentielle s'écrit

d{\omega} = df \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} .

Formule invariante[modifier | modifier le code]

Étant donnée \omega de degré k et des champs vectoriels arbitraires lisses V_0,V_1,...,V_k nous avons

d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)
+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)

[V_i,V_j]\,\! dénote le crochet de Lie et \omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).

En particulier, pour les 1-formes nous avons:

d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).

Lien avec le calcul vectoriel[modifier | modifier le code]

La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

Gradient[modifier | modifier le code]

Pour une 0-forme, qui est une fonction lisse f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}, nous avons

df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.

Alors

df(V) = \langle \mathrm{grad}\ f,V\rangle,

\mathrm{grad}\ f dénote le gradient de f et \langle\cdot,\cdot\rangle est le produit scalaire.

Rotationnel[modifier | modifier le code]

Pour une 1-forme \omega= \omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz sur R3 (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

d \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) dx \wedge dy 
+ \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) dy \wedge dz 
+ \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) dz \wedge dx.

Grâce au produit vectoriel sur R3, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs \overrightarrow{\text{rot}}\; \omega, appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

 d\omega (\vec{a},\vec{b}) = \overrightarrow{\text{rot}}\; \omega \cdot (\vec{a}\wedge\vec{b})

\cdot est le produit scalaire et \vec{a}\wedge\vec{b} est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

\overrightarrow{\text{rot}}\; \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) \vec{e_z} 
+ \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) \vec{e_x} 
+ \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) \vec{e_y}.

Divergence[modifier | modifier le code]

Pour une 2-forme  \omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge\,dx_j, on a:

d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.

En trois dimensions, avec  \omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy on obtient: d \omega = \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz = \mbox{div}V dx \wedge dy \wedge dz,

V est un champ vectoriel defini par  V = [p,q,r].

Exemples[modifier | modifier le code]

Pour une 1-forme \sigma = u\, dx + v\, dy sur \mathbb{R}^2 nous avons : d \sigma = \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) dx \wedge dy, ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Voir aussi[modifier | modifier le code]