Dérivée extérieure

En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier (en). Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Définition

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'espace gradué des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire $\mathrm d:\Omega(M)\to \Omega(M)$ vérifiant :

1. d est un opérateur linéaire gradué de degré 1 et induit en particulier des applications linéaires $\mathrm d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M)$ ;
2. En notant $\wedge$ le produit extérieur, pour toutes formes différentielles $\alpha$ et $\beta$ de degrés respectifs k et q, on a : $\mathrm d\left(\alpha\wedge \beta\right)=\mathrm d\alpha\wedge \beta+(-1)^k \alpha \wedge \mathrm d\beta$ ;
3. Le carré de d est nul : $\rm d^2=0$ ;
4. Pour toute fonction $f\in \Omega^0(M)$, $\mathrm df$ est la différentielle de f.

Le noyau de d contient les formes fermées, et l'image des formes exactes (cf. différentielle exacte).

Expression en coordonnées locales

Pour une k-forme $\omega = f dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k}$ sur Rⁿ, la différentielle s'écrit

$d{\omega} = df \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i_1}\wedge ...\wedge dx_{i_k}$.

Formule invariante

Étant donné ω de forme k et des champs vectoriels arbitraires lisses V₀,V₁, …, V_k nous avons

$d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)$

$+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)$

où $[V_i,V_j]\,\!$ dénote le crochet de Lie et $\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).$

En particulier, pour les 1-formes nous avons:

$d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).$

Lien avec le calcul vectoriel

La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

Gradient

Pour une 0-forme, qui est une fonction lisse f: Rⁿ→R, nous avons

$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.$

Alors

$df(V) = \langle \mbox{grad }f,V\rangle,$

où grad f dénote le gradient de f et $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est le produit scalaire.

Rotationnel

Pour une 1-forme $\omega= \omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz$ sur R³ (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

$d \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) dx \wedge dy + \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) dz \wedge dx.$

Grâce au produit vectoriel sur R³, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs $\overrightarrow{\text{rot}}\; \omega$, appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

$d\omega (\vec{a},\vec{b}) = \overrightarrow{\text{rot}}\; \omega \cdot (\vec{a}\wedge\vec{b})$

où $\cdot$ est le produit scalaire et $\vec{a}\wedge\vec{b}$ est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

$\overrightarrow{\text{rot}}\; \omega = \left(\frac{\partial \omega_y}{\partial x} - \frac{\partial \omega_x}{\partial y} \right) \vec{e_z} + \left(\frac{\partial \omega_z}{\partial y} - \frac{\partial \omega_y}{\partial z} \right) \vec{e_x} + \left(\frac{\partial \omega_x}{\partial z} - \frac{\partial \omega_z}{\partial x} \right) \vec{e_y}.$

Divergence

Pour une 2-forme $\omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge\,dx_j,$ on a:

$d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.$

En trois dimensions, avec $\omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy$ on obtient: $d \omega = \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz = \mbox{div}V dx \wedge dy \wedge dz,$

où V est un champ vectoriel defini par $V = [p,q,r].$

Exemples

Pour une 1-forme $\sigma = u\, dx + v\, dy$ sur R² nous avons :$d \sigma = \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) dx \wedge dy$, ce qui est exactement la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Voir aussi

• Dérivée covariante extérieure (en)
• Théorème de flux-divergence
• Théorème de Green
• Théorème de Stokes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exterior derivative » (voir la liste des auteurs)