Théorème d'Ampère

En magnétostatique, le théorème d'Ampère permet de déterminer la valeur du champ magnétique grâce à la donnée des courants électriques. Ce théorème est une forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère. Il a été découvert par André-Marie Ampère^[1], et constitue l'équivalent magnétostatique du théorème de Gauss. Pour être appliqué analytiquement de manière simple, le théorème d'Ampère nécessite que le problème envisagé soit de symétrie élevée.

Théorème d'Ampère en statique[modifier | modifier le code]

Ces relations s’appliquent uniquement dans le cas où le champ électrique est constant dans le temps (les courants sont stables et indépendants du temps), sinon le champ magnétique varierait dans le temps.

Dans le vide[modifier | modifier le code]

Énoncé littéral[modifier | modifier le code]

La circulation du champ magnétique ${\vec {B}}$ le long d’un contour $C$ orienté et fermé, que l’on appelle contour d’Ampère, est égale à la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par $C$ .

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

\oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enlacée}}

où :

$\oint _{C}$ représente l'intégrale curviligne sur le contour fermé $C$ ,
${\vec {B}}$ est le champ magnétique,
$\mathrm {d} {\vec {\ell }}$ est l'élément infinitésimal de déplacement le long du contour $C$ ,
$I_{\text{enlacée}}$ est l'intensité algébrique du courant total enlacé (entouré) par le contour $C$ ,
$\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}$ kg m A⁻² s⁻², ou encore $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}$ T m A⁻¹ est la perméabilité du vide.

Remarque : On peut distinguer plusieurs cas concernant l'intensité enlacée par le contour

si le contour enlace un courant volumique ${\vec {\jmath }}$ , alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :

I_{\text{enlacée}}=\iint _{S}{\vec {\jmath }}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}

,

avec ${\vec {\jmath }}$ en (A.m^-2).

si le contour enlace un courant surfacique ${\vec {k}}$ , alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :

I_{\text{enlacée}}=\int _{l}{\vec {k}}\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} \ell

,

avec ${\vec {k}}$ en (A.m^-1) et ${\hat {n}}$ un vecteur unitaire normal au contour d'intégration.

si le contour enlace plusieurs circuits filiformes alors on peut dire que l'intensité enlacée s'écrira :

I_{\text{enlacée}}=\sum _{i}I_{i}

avec $I_{i}$ l'intensité d'un fil du circuit filiforme.

Attention, il s'agit d'une somme algébrique : il faut orienter le contour d'Ampère, et donc donner une normale à la surface, d'où une convention de signe concernant les courants enlacés, comptés positivement ou négativement selon leur sens. Cette convention se retient par la règle du tire-bouchon.

Pour le contour d'Ampère représenté sur cette image :

I_{\text{enlacée}}=\sum I_{i}=-I_{1}+I_{2}+I_{3}

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

Par le théorème de Stokes, on obtient l'expression de la loi d'Ampère sous forme locale (en faisant apparaître l'opérateur rotationnel) qui établit une relation entre le champ ${\vec {B}}$ en un point de l'espace et la densité de courant ${\vec {J}}$ en ce même point :

{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {B}}=\mu _{0}\,{\vec {J}}

.

Dans la matière[modifier | modifier le code]

Dans la matière, notamment aimantée, on se retrouve en présence de plusieurs types de courants (les courants libres qui sont les courants usuels que nous connaissons, et les courants liés qui eux vont dépendre des champs présents dans la matière). En conséquence, le théorème d’Ampère conventionnel n’est plus valable. En revanche, le théorème d’Ampère pour l’excitation magnétique ${\vec {H}}$ existe et va pouvoir être utilisé pour calculer ${\vec {H}}$ si l’on connaît la distribution en courant.

Notions sur les densités de courant dans la matière en statique[modifier | modifier le code]

Dans la matière on ne connaît jamais les sources ( ${\vec {J}}$ ) de courants intégralement. On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

On ne connaît pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note ${\overrightarrow {J_{\text{lié}}}}$ leurs densités volumiques respectives)
On connaît en général les charges et les courants libres du milieu (on note ${\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}$ leurs densités volumiques respectives)

On a ainsi :

{\overrightarrow {J_{\text{tot}}}}={\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}+{\overrightarrow {J_{\text{lié}}}}

Il faut prendre en compte le champ macroscopique aimantation, noté ${\vec {M}}$ et défini comme la densité volumique de moment magnétique. Ce champ va induire un courant lié qui va être à l'origine de l'aimantation qui s'exprime :

{\overrightarrow {J_{\text{m}}}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {M}}

,

où ${\vec {M}}$ est le vecteur aimantation.

On pose ainsi :

{\overrightarrow {J_{\text{lié}}}}={\overrightarrow {J_{\text{m}}}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {M}}

Les milieux conducteurs contiennent des charges électriques qui peuvent se mouvoir (charges libres), celles-ci vont induire une densité de courant libre (ou de conduction) qui s'exprime :

{\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}=\sigma {\vec {E}},

on reconnaît la loi d'Ohm locale avec $\sigma$ la conductivité.

Forme littérale[modifier | modifier le code]

Dans la matière aimantée le théorème d’Ampère peut se réécrire pour l’excitation en ne considérant que les courants libres :

La circulation de l'excitation magnétique ${\vec {H}}$ le long d'un contour fermé $C$ est égale à l'intensité totale en courant libre qui traverse n'importe quelle surface s'appuyant sur $C$ .

Cela suppose que l'on se trouve en régime permanent auquel cas le vecteur densité de courant ${\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}$ est à flux conservatif et l'intensité ne dépend que de $C$ et pas du choix de la surface s'appuyant sur $C$ .

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

\oint _{C}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {H}}={\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}

Théorème d'Ampère en dynamique[modifier | modifier le code]

Dans le vide[modifier | modifier le code]

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

En régime variable l'équation de Maxwell-Ampère donne :

{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}+\displaystyle {\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}\right)

On remarque la présence d'un autre terme par rapport au régime statique. Il s’agit d'une densité de courant que Maxwell a pris en compte en établissant ses équations, nommée la densité de courant de déplacement :

{\overrightarrow {J_{\text{d}}}}=\varepsilon _{0}\,{\partial {\overrightarrow {E}} \over \partial t}

où ε₀ est la permittivité du vide.

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

\oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\mu _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\mu _{0}\underbrace {\varepsilon _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\partial {\overrightarrow {E}} \over \partial t}} _{\overrightarrow {J_{\text{d}}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}

Dans la matière[modifier | modifier le code]

Dans la matière on peut poser :

${\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$ l’induction électrique (en C.m^-2)

Dans la matière il faut prendre en compte la polarisation du milieu, notée ${\vec {P}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale. Cette dernière va induire en régime variable la présence d'une densité de courant de polarisation définie par :

{\overrightarrow {J_{\text{p}}}}={\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}},

où ${\vec {P}}$ est le vecteur polarisation.

En dérivant ${\vec {D}}$ par rapport au temps on obtient :

{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}=\underbrace {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} _{\overrightarrow {J_{\text{d}}}}+\underbrace {\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}} _{\overrightarrow {J_{\text{p}}}}

on reconnaît la densité de courant de polarisation ${\overrightarrow {J_{\text{p}}}}$ ainsi que la densité de courant de déplacement ${\overrightarrow {J_{\text{d}}}}$

${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}},$ l’excitation magnétique (en A.m^-1)

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

L'équation de Maxwell-Ampère se réécrit donc dans la matière :

{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\,{\vec {H}}={\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}+\displaystyle {\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

\oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {\ell }}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {J_{\text{libre}}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\partial {\overrightarrow {D}} \over \partial t}

Remarques[modifier | modifier le code]

Le théorème d’Ampère conduit à des résultats identiques à ceux que l'on peut obtenir via la loi de Biot et Savart.
Le sens de circulation sur le contour d’Ampère est totalement arbitraire. Dès que ce choix est fait, il faut appliquer la règle du bonhomme d’Ampère.
Il faut faire attention à la somme algébrique des sources. Deux courants d'intensités identiques traversant une même surface en sens opposés conduiront à intensité enlacée totale nulle.

Résolution d'un problème avec le théorème d'Ampère[modifier | modifier le code]

Méthode générale pour calculer le champ magnétostatique en tout point M quelconque de l'espace[modifier | modifier le code]

Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques);
Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M;
Repérer les plans de symétrie (ou d’antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M;
Définir un « contour d’Ampère », qui contient le point M, et sur lequel le champ est tangent. Suivant la distribution il faut généralement distinguer plusieurs cas, selon la région de l’espace où se situe le point (à l’intérieur / à l’extérieur de la distribution par exemple);
Appliquer le théorème d’Ampère afin de résoudre le problème.

Exemples de calcul[modifier | modifier le code]

Des exemples de calculs se trouvent sur la page wikiversity

Bibliographie[modifier | modifier le code]

John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
Gérard Fournet, « Électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 mars 1993.
Michel Ney, « Bases de l’électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 août 2004.
José-Philippe Pérez, Robert Carles et Robert Fleckinger, Électromagnétisme Vide et milieux matériels, Paris, Masson, 1990 (ISBN 2-225-82294-8).
Marie-Nöelle Sanz - Bernard Salamito, Physique Tout-En-Un PC, PC* - Le Cours De Référence, collection J'intègre, Paris, Dunod, 01/06/2009 (ISBN 978-2-10-053462-3)
Marie-Nöelle Sanz - Anne-Emmanuelle Badel - François Clausset, Physique Tout-En-Un 1^re Année MPSI-PCSI-PTSI - Cours Et Exercices Corrigés, collection J'intègre, Paris, Dunod, 20/06/2012 (ISBN 978-2-10-057871-9)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Animation flash sur la circulation du champ magnétique, université de Nantes.
Cours wikiversity sur l'électromagnétisme des milieux matériels.
Cours université du Mans sur les Équations de Maxwell dans les milieux
Musée Ampère à Poleymieux-au-Mont-d'Or, près de Lyon, musée de l'électricité dédié à André-Marie Ampère.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Le Musée Ampère à Poleymieux-au-Mont-d'Or, près de Lyon, est dédié à André-Marie Ampère

[1] Le Musée Ampère à Poleymieux-au-Mont-d'Or, près de Lyon, est dédié à André-Marie Ampère

[1]

v · m Électromagnétisme
Électrostatique	Champ électrique Charge électrique Loi de Coulomb Potentiel électrique Pression électrostatique
Magnétostatique	Champ magnétique Moment magnétique Aimantation Loi de Biot et Savart
Électrocinétique	Ampère Champ électromagnétique Courant de déplacement Courant électrique Courants de Foucault Équations de Jefimenko Équations de Maxwell Force électromotrice Force de Lorentz Induction électromagnétique Loi de Lenz-Faraday Potentiels de Liénard-Wiechert Rayonnement électromagnétique
Magnétisme	Bobine Circuit magnétique Domaine de Weiss Inversion du champ magnétique terrestre Loi de Curie Loi de Curie-Weiss Perméabilité magnétique Susceptibilité magnétique Comportements magnétiques Altermagnétisme Antiferromagnétisme Diamagnétisme Ferrimagnétisme Ferromagnétisme Hélimagnétisme Paramagnétisme Superparamagnétisme Verre de spin
Automatique Électricité Électrochimie Électronique Électrotechnique Robotique Traitement du signal