Groupe simple

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En mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial[1],[2].

Définition[modifier | modifier le code]

Un groupe (G,*) est dit simple s'il a exactement deux sous-groupes distingués : (\{e\},*) (e étant l’élément neutre du groupe) et (G,*) lui-même.

Exemples[modifier | modifier le code]

Quelques exemples de groupes simples :

  • Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d'ordre premier. En effet, tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal, et
    un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe autre que lui-même et son sous-groupe trivial est cyclique d'ordre premier.

Intérêt[modifier | modifier le code]

Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial H d'un groupe G est souvent de permettre la construction du groupe quotient G/H. L'étude de G se ramène alors à celle de H et de G/H. Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.

Tout groupe simple non abélien est non résoluble.

Les groupes simples finis sont importants car ils peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.

La classification des groupes simples finis fut achevée en 1982.

Théorème de Feit et Thompson[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Feit et Thompson.

Le théorème de Feit et Thompson dit que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble. Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., tirage de 1999, p. 39
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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